Номер 735, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Уравнения с параметром. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 735, страница 174.

735. Решите уравнение с параметром а:

ax – 2x = a³ – 2a² – 9a + 18.

$$\begin{gathered} ax-2x=a^3-2a^2-9a+18ax-2x\; =\; a^3-2a^2-9a+18 \\ x\left(a-2\right)=a^2\left(a-2\right)-9\left(a-2\right)x(a-2)\; =\; a^2(a-2)-9(a-2) \\ x\left(a-2\right)=\left(a^2-9\right)\left(a-2\right)x(a-2)\; =\; (a^2-9)(a-2) \\ x=\frac{\left(a^2-9\right)\left(a-2\right)}{a-2}x\; =\; \backslash frac\{(a^2-9)(a-2)\}\{a-2\} \end{gathered}$$

при $a\mathrm{\ne }2a\; \backslash neq\; 2$; $x=a^2-9x\; =\; a^2-9$

$$\begin{gathered} \begin{array}{cl}\text{при} a=2;& 2x-2x=8-8-18+18\\ & 0x=0 \\ x - \text{любое число}\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: при $a\mathrm{\ne }2a\; \backslash neq\; 2$; $x=a^2-9x\; =\; a^2-9$;

при $a=2a\; =\; 2$; x - любое число

Данное уравнение является линейным относительно переменной $x$. Для его решения преобразуем обе части уравнения, разложив их на множители.

Левая часть уравнения: $ax - 2x = x(a - 2)$.

Правая часть уравнения: $a? - 2a? - 9a + 18 = (a? - 2a?) - (9a - 18) = a?(a - 2) - 9(a - 2) = (a - 2)(a? - 9)$.

Применив формулу разности квадратов $k? - m? = (k - m)(k + m)$ к выражению $(a? - 9)$, получим: $(a - 2)(a - 3)(a + 3)$.

Таким образом, исходное уравнение принимает вид: $x(a - 2) = (a - 2)(a - 3)(a + 3)$.

Решение этого уравнения зависит от значения коэффициента при $x$, то есть от выражения $(a - 2)$. Рассмотрим два случая.

1. Если коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $a - 2 \neq 0 \implies a \neq 2$.
В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a - 2)$: $x = \frac{(a - 2)(a - 3)(a + 3)}{a - 2}$.
После сокращения дроби получаем единственное решение: $x = (a - 3)(a + 3) = a? - 9$.

2. Если коэффициент при $x$ равен нулю, то есть $a - 2 = 0 \implies a = 2$.
Подставим значение $a = 2$ в преобразованное уравнение: $x \cdot (2 - 2) = (2 - 2)(2 - 3)(2 + 3)$
$x \cdot 0 = 0 \cdot (-1) \cdot 5$
$0 = 0$.
Это верное числовое равенство, которое не зависит от значения $x$. Следовательно, при $a = 2$ решением уравнения является любое действительное число.

Ответ: если $a = 2$, то $x \in \mathbb{R}$ (любое действительное число); если $a \ne 2$, то $x = a? - 9$.