Номер 744, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 744, страница 174.

744. Решите относительно х уравнение:

a) $x^2=a$

$x=\pm \sqrt{a}$ при a>0

x=0 при a=0

нет корней при a<0

Ответ: при a>0; $x=\pm \sqrt{a}x\; =\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{a\}$;

при a=0; x=0;

при a<0; ней корней

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{x}^2=a^2 \\ \sqrt{x^2}=\sqrt{a^2} \\ \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid } \\ x=a; x=-a \end{gathered}$$

Ответ: $\pm a\backslash pm\; a$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}{x}^2+4b=0 \\ {x}^2=-4b \end{gathered}$$

при b>0, корней нет;

при b=0; $x^2=0x^2=\; 0$; x=0;

при b<0, $$\begin{gathered} x=\pm \sqrt{-4b}x\; =\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{-4b\} \\ x=\pm 2\sqrt{-b}x=\backslash pm\; 2\backslash sqrt\{-b\} \end{gathered}$$

Ответ: при b>0, корней нет;

при b=0; x=0;

при b<0; $x=\pm 2\sqrt{-b}x\; =\; \backslash pm\; 2\backslash sqrt\{-b\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}{x}^2+9b^2=0 \\ {x}^2=-9b^2 \\ x=\pm \sqrt{-9b^2} \end{gathered}$$

$x=\pm 3\sqrt{-b^2}$ - не имеет смысла, т.к при b≠0

при $b=0b=0$; $x^2=0x^2=0$; $x=0x=0$

Ответ: при $b\mathrm{\ne }0b\backslash neq0$; корней нет;

при b=0; x=0

а) Дано уравнение $x^2 = a$. Решение этого уравнения зависит от значения параметра $a$, так как для нахождения $x$ нужно извлечь квадратный корень из $a$.
1. Если $a > 0$, то правая часть уравнения положительна. Уравнение имеет два различных действительных корня: $x_1 = \sqrt{a}$ и $x_2 = -\sqrt{a}$.
2. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $x^2 = 0$, и оно имеет один корень (или два совпадающих): $x = 0$.
3. Если $a < 0$, правая часть уравнения отрицательна. Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$), уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: при $a > 0$ корни $x = \pm\sqrt{a}$; при $a = 0$ корень $x = 0$; при $a < 0$ действительных корней нет.

б) Дано уравнение $x^2 = a^2$. Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить $x^2 - a^2 = 0$.
Применим формулу разности квадратов $u^2 - v^2 = (u-v)(u+v)$:
$(x - a)(x + a) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Это дает нам два возможных случая:
1. $x - a = 0 \implies x = a$.
2. $x + a = 0 \implies x = -a$.
Таким образом, уравнение имеет два корня. Если $a = 0$, то оба корня совпадают и равны 0.
Ответ: $x = \pm a$.

в) Дано уравнение $x^2 + 4b = 0$. Выразим $x^2$:
$x^2 = -4b$.
Решение этого уравнения зависит от знака выражения $-4b$, который, в свою очередь, зависит от знака параметра $b$.
1. Если $b < 0$, то $-4b > 0$. Уравнение имеет два действительных корня: $x = \pm\sqrt{-4b} = \pm 2\sqrt{-b}$.
2. Если $b = 0$, уравнение принимает вид $x^2 = 0$, и его единственный корень $x = 0$.
3. Если $b > 0$, то $-4b < 0$. Уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$).
Ответ: при $b < 0$ корни $x = \pm 2\sqrt{-b}$; при $b = 0$ корень $x = 0$; при $b > 0$ действительных корней нет.

г) Дано уравнение $x^2 + 9b^2 = 0$. Выразим $x^2$:
$x^2 = -9b^2$.
Проанализируем обе части уравнения. Левая часть, $x^2$, всегда неотрицательна для любого действительного числа $x$ ($x^2 \ge 0$).
Правая часть, $-9b^2$, всегда неположительна для любого действительного числа $b$, так как $b^2 \ge 0$, и, следовательно, $-9b^2 \le 0$.
Равенство между неотрицательным и неположительным числом возможно только в том случае, если оба числа равны нулю.
$x^2 = 0 \implies x = 0$.
$-9b^2 = 0 \implies b^2 = 0 \implies b = 0$.
Следовательно, уравнение имеет решение только при условии, что $b = 0$. В этом случае единственным решением является $x=0$. Если $b \neq 0$, то $-9b^2 < 0$, и уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: при $b = 0$ корень $x = 0$; при $b \neq 0$ действительных корней нет.