Номер 760, страница 176 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 760, страница 176.

760. Дно ящика — прямоугольник, ширина которого в 2 раза меньше его длины. Высота ящика 0,5 м. Найдите объём ящика, если известно, что площадь его дна на 1,08 м² меньше площади боковых стенок.

Пусть x(м) - ширина прямоугольника (дна ящика), тогда 2x(м) - длина прямоугольника $2x·x=2x^2\left({\text{м}}^2\right)2x\; \backslash cdot\; x\; =\; 2x^2\; (м^2)$ – площадь дна ящика, $\left(0,5x·2+0,5·2x·2\right){\text{м}}^2(0,5x\; \backslash cdot\; 2\; +\; 0,5\; \backslash cdot\; 2x\; \backslash cdot\; 2)\; м^2$ - площадь боковых стенок ящика. Зная, что площадь его дна на 1,08м² меньше площади боковых стенок, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 2x^2+1,08=0,5x·2+0,5·2x·2 \\ 2x^2+1,08=x+2x \\ 2x^2-3x+1,08=0 \\ D={\left(-3\right)}^2-4·2·1,08=9-8,64=0,36 \\ x=\frac{3\pm \sqrt{0,36}}{4};x=\frac{3\pm 0,6}{4} \\ {x}_1=0,9;x_2=0,6 \end{gathered}$$

Если x=0,9, то 2*0,9=1,8(м) - длина прямоугольника. Тогда объем ящика равен $0,9·1,8·0,5=0,81\left({\text{м}}^3\right)0,9\; \backslash cdot\; 1,8\; \backslash cdot\; 0,5\; =\; 0,81\; (м^3)$

Если x=0,6, то 2*0,6=1,2(м) - длина прямоугольника. Тогда объем ящика равен $0,6·1,2·0,5=0,36\left({\text{м}}^3\right)0,6\; \backslash cdot\; 1,2\; \backslash cdot\; 0,5\; =\; 0,36\; (м^3)$

Ответ: 0,81м³ или 0,36м³

Пусть $l$ — длина дна ящика (в метрах), а $w$ — его ширина (в метрах). Высота ящика $h = 0.5$ м.

По условию задачи, ширина ящика в 2 раза меньше его длины, что можно записать как:
$w = \frac{l}{2}$

Площадь дна ящика ($S_{дна}$) вычисляется по формуле:
$S_{дна} = l \cdot w = l \cdot \frac{l}{2} = \frac{l^2}{2}$

Площадь боковых стенок ($S_{бок}$) — это периметр основания, умноженный на высоту. Периметр основания равен $P = 2(l + w)$.
$S_{бок} = P \cdot h = 2(l + w) \cdot h$
Подставим известные значения $w = \frac{l}{2}$ и $h = 0.5$:
$S_{бок} = 2(l + \frac{l}{2}) \cdot 0.5 = 2(\frac{3l}{2}) \cdot 0.5 = 3l \cdot 0.5 = 1.5l$

Известно, что площадь дна на 1,08 м? меньше площади боковых стенок:
$S_{бок} = S_{дна} + 1.08$

Подставим выражения для площадей в это уравнение:
$1.5l = \frac{l^2}{2} + 1.08$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на 2, чтобы избавиться от дроби:
$3l = l^2 + 2.16$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$l^2 - 3l + 2.16 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2.16 = 9 - 8.64 = 0.36$
$\sqrt{D} = \sqrt{0.36} = 0.6$

Теперь найдем возможные значения длины $l$:
$l_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 0.6}{2 \cdot 1} = \frac{3.6}{2} = 1.8$
$l_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 0.6}{2 \cdot 1} = \frac{2.4}{2} = 1.2$

Оба корня положительные, значит, существуют два возможных набора размеров для ящика. Найдем объем $V$ для каждого случая. Объем ящика вычисляется по формуле $V = l \cdot w \cdot h$.

Случай 1:
Если длина $l = 1.8$ м, то ширина $w = \frac{1.8}{2} = 0.9$ м.
Объем ящика будет равен:
$V_1 = l \cdot w \cdot h = 1.8 \cdot 0.9 \cdot 0.5 = 1.62 \cdot 0.5 = 0.81$ м?.

Случай 2:
Если длина $l = 1.2$ м, то ширина $w = \frac{1.2}{2} = 0.6$ м.
Объем ящика будет равен:
$V_2 = l \cdot w \cdot h = 1.2 \cdot 0.6 \cdot 0.5 = 0.72 \cdot 0.5 = 0.36$ м?.

Поскольку оба полученных решения удовлетворяют всем условиям задачи, существует два возможных ответа.

Ответ: 0,81 м? или 0,36 м?.