Страница 197 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

881. Сложите почленно неравенства:

$\begin{array}{cc}\mathbf{\text{а)}}& \begin{array}{cl}+& \begin{array}{l}12>-5\\ 9>7\end{array}\\ & \overline{21>2}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathbf{\text{б)}}& \begin{array}{cl}+& \begin{array}{l}-2,5<-0,7\\ -6,5<-1,3\end{array}\\ & \overline{\begin{array}{c}-9,0<-2,0\\ -9<2\end{array}}\end{array}\end{array}$

а)

Даны два неравенства: $12 > -5$ и $9 > 7$.

По правилу почленного сложения неравенств, если $a > b$ и $c > d$, то $a+c > b+d$. Так как оба данных неравенства имеют одинаковый знак ($>$), их можно сложить почленно.

Сложим левые части неравенств и правые части неравенств, сохранив знак неравенства:

$12 + 9 > -5 + 7$

Выполним вычисления в каждой части:

Левая часть: $12 + 9 = 21$

Правая часть: $-5 + 7 = 2$

Получаем итоговое верное неравенство:

$21 > 2$

Ответ: $21 > 2$.

б)

Даны два неравенства: $-2,5 < -0,7$ и $-6,5 < -1,3$.

По правилу почленного сложения неравенств, если $a < b$ и $c < d$, то $a+c < b+d$. Оба неравенства имеют одинаковый знак ($<$), поэтому их можно сложить почленно.

Сложим левые и правые части соответственно, сохраняя знак неравенства:

$(-2,5) + (-6,5) < (-0,7) + (-1,3)$

Выполним вычисления в обеих частях:

Левая часть: $-2,5 - 6,5 = -9$

Правая часть: $-0,7 - 1,3 = -2$

Получаем итоговое верное неравенство:

$-9 < -2$

Ответ: $-9 < -2$.

882. Перемножьте почленно неравенства:

$\begin{array}{cc}\mathbf{\text{а)}}& \begin{array}{cc}\times & \begin{array}{c}5>2\\ 4>3\end{array}\\ & \overline{20>6}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathbf{\text{б)}}& \begin{array}{cc}\times & \begin{array}{c}8<10\\ \frac{1}{4}<\frac{1}{2}\end{array}\\ & \overline{ 2<5 }\end{array}\end{array}$

а) Даны два неравенства: $5 > 2$ и $4 > 3$.

Для того чтобы почленно перемножить неравенства, необходимо, чтобы они были одного знака и все их части были положительными. В данном случае оба неравенства имеют знак «больше» ($>$) и все числа ($5, 2, 4, 3$) являются положительными. Следовательно, мы можем перемножить их левые и правые части, сохранив при этом знак неравенства.

Перемножим левые части неравенств: $5 \cdot 4 = 20$.

Перемножим правые части неравенств: $2 \cdot 3 = 6$.

В результате получаем новое верное неравенство: $20 > 6$.

Ответ: $20 > 6$.

б) Даны два неравенства: $8 < 10$ и $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$.

Оба неравенства имеют знак «меньше» ($<$) и все их части ($8, 10, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}$) являются положительными числами. Поэтому мы можем их почленно перемножить, и знак неравенства при этом сохранится.

Перемножим левые части неравенств: $8 \cdot \frac{1}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Перемножим правые части неравенств: $10 \cdot \frac{1}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

В результате получаем новое верное неравенство: $2 < 5$.

Ответ: $2 < 5$.

883. Верно ли для положительных чисел а и b, что:

а) если a² > b², то a³ > b³;

б) если a³ > b³, то a² > b²?

a>0, b>0

$\begin{array}{cc}\mathbf{\text{а)}}& \begin{array}{cl}\times & \begin{array}{l}a>b\\ a>b\end{array}\\ & \overline{a^2>b^2}\end{array}\end{array} \begin{array}{cl}\times & \begin{array}{l}{a}^2>b^2\\ a>b\end{array}\\ & \overline{a^3>b^3}\end{array}$

Ответ: верно

$\begin{array}{cl}\mathbf{\text{б)}}& \begin{array}{cl}\times & \begin{array}{l}a>b\\ a>b\\ a>b\end{array}\\ & \overline{a^3>b^3}\end{array}\end{array} \begin{array}{cl}\times & \begin{array}{l}\begin{array}{l}a>b\\ a>b\end{array}\end{array}\\ & \overline{a^2>b^2}\end{array}$

Ответ: верно

а) Да, это утверждение верно. Разберем его по шагам.

Нам дано, что числа $a$ и $b$ положительные ($a > 0$, $b > 0$) и что $a^2 > b^2$.

Перенесем $b^2$ в левую часть неравенства: $a^2 - b^2 > 0$.

Используем формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) > 0$.

Так как по условию $a$ и $b$ — положительные числа, их сумма $(a + b)$ также будет положительным числом.

Чтобы произведение двух множителей было положительным, они должны быть одного знака. Поскольку мы знаем, что множитель $(a + b)$ положителен, то и множитель $(a - b)$ должен быть положительным.

Следовательно, $a - b > 0$, что означает $a > b$.

Теперь нам нужно проверить, следует ли из $a > b$ неравенство $a^3 > b^3$.

Рассмотрим разность кубов $a^3 - b^3$. Используя формулу, получаем: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Мы уже установили, что $(a - b) > 0$.

Второй множитель $(a^2 + ab + b^2)$ является суммой трех слагаемых. Так как $a > 0$ и $b > 0$, то $a^2 > 0$, $b^2 > 0$ и $ab > 0$. Сумма трех положительных чисел всегда положительна, значит, $(a^2 + ab + b^2) > 0$.

Произведение двух положительных множителей $(a - b)$ и $(a^2 + ab + b^2)$ также будет положительным.

Таким образом, $a^3 - b^3 > 0$, а это означает, что $a^3 > b^3$.

Ответ: да, верно.

б) Да, это утверждение также верно.

Нам дано, что числа $a$ и $b$ положительные ($a > 0$, $b > 0$) и что $a^3 > b^3$.

Перенесем $b^3$ в левую часть: $a^3 - b^3 > 0$.

Используем формулу разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) > 0$.

Множитель $(a^2 + ab + b^2)$ является суммой положительных слагаемых (так как $a > 0$ и $b > 0$), поэтому он положителен.

Чтобы произведение было положительным, оба множителя должны быть одного знака. Так как $(a^2 + ab + b^2) > 0$, то и $(a - b)$ должен быть больше нуля.

Следовательно, $a - b > 0$, что означает $a > b$.

Теперь проверим, следует ли из $a > b$ неравенство $a^2 > b^2$.

Рассмотрим разность квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Мы уже знаем, что $(a - b) > 0$.

Так как $a$ и $b$ положительны, их сумма $(a + b)$ тоже положительна.

Произведение двух положительных множителей $(a - b)$ и $(a + b)$ будет положительным.

Значит, $a^2 - b^2 > 0$, откуда следует, что $a^2 > b^2$.

Ответ: да, верно.

884. Пусть 3 ‹ a ‹ 4 и 4 ‹ b ‹ 5. Оцените:

а) a + b;

б) a – b;

в) ab;

г) ab.

$3<a<4 \text{и} 4<b<5$

$\begin{array}{cc}\mathbf{\text{а)}}& \begin{array}{cl}+& \begin{array}{l}3<a<4\\ 4<b<5\end{array}\\ & \overline{\begin{array}{c}3+4<a+b<4+5\\ 7<a+b<9\end{array}}\end{array}\end{array}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 4<b<5 \\ -4>-b>-5 \\ \begin{array}{cc}+& \begin{array}{l}-5<-b<-4\\ 3<a<4\end{array}\\ & \overline{-2<a-b<0}\end{array} \end{gathered}$$

$\begin{array}{cc}\mathbf{\text{в)}}& \begin{array}{cl}\times & \begin{array}{l}3<a<4\\ 4<b<5\end{array}\\ & \overline{12<ab<20}\end{array}\end{array}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 4<b<5 \\ \frac{1}{4}>\frac{1}{b}>\frac{1}{5} \\ \begin{array}{cl}\times & \begin{array}{l}\frac{1}{5}<\frac{1}{b}<\frac{1}{4}\\ 3<a<4\end{array}\\ & \overline{\frac{3}{5}<\frac{a}{b}<1}\end{array} \end{gathered}$$

а) Для того чтобы оценить сумму $a + b$, необходимо сложить почленно данные неравенства $3 < a < 4$ и $4 < b < 5$. Складываем левые части с левыми, а правые — с правыми:
$3 + 4 < a + b < 4 + 5$
Выполняем сложение:
$7 < a + b < 9$
Ответ: $7 < a + b < 9$.

б) Для оценки разности $a - b$ представим её как сумму $a + (-b)$. Сначала найдём оценку для $-b$. Для этого умножим все части неравенства $4 < b < 5$ на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-4 > -b > -5$
Запишем это неравенство в привычном виде:
$-5 < -b < -4$
Теперь сложим почленно неравенства $3 < a < 4$ и $-5 < -b < -4$:
$3 + (-5) < a + (-b) < 4 + (-4)$
$-2 < a - b < 0$
Ответ: $-2 < a - b < 0$.

в) Для оценки произведения $ab$ необходимо перемножить почленно данные неравенства. Поскольку все части неравенств $3 < a < 4$ и $4 < b < 5$ положительны, мы можем это сделать:
$3 \cdot 4 < ab < 4 \cdot 5$
Выполняем умножение:
$12 < ab < 20$
Ответ: $12 < ab < 20$.

г) Для оценки частного $\frac{a}{b}$ представим его как произведение $a \cdot \frac{1}{b}$. Сначала найдём оценку для $\frac{1}{b}$. Так как $4 < b < 5$ и все числа положительны, при взятии обратных величин знаки неравенства меняются на противоположные:
$\frac{1}{4} > \frac{1}{b} > \frac{1}{5}$
Запишем это неравенство в привычном виде:
$\frac{1}{5} < \frac{1}{b} < \frac{1}{4}$
Теперь перемножим почленно неравенства $3 < a < 4$ и $\frac{1}{5} < \frac{1}{b} < \frac{1}{4}$, так как все их части положительны:
$3 \cdot \frac{1}{5} < a \cdot \frac{1}{b} < 4 \cdot \frac{1}{4}$
$\frac{3}{5} < \frac{a}{b} < 1$
Ответ: $\frac{3}{5} < \frac{a}{b} < 1$.