Номер 880, страница 195 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

35. Свойства числовых неравенств. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 880, страница 195.

880. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{8x^2-3}{5}-\frac{5-9x^2}{4}=2 /·20 \\ 4\left(8x^2-3\right)-5\left(5-9x^2\right)=40 \\ 32x^2-12-25+45x^2=40 \\ 77x^2-37=40 \\ 77x^2=40+37 \\ 77x^2=77 \\ {x}^2=1 \\ x=\pm 1 \end{gathered}$$

Ответ: -1; 1

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}}\mathbf{ }\frac{2}{x^2-x+1}-\frac{1}{x+1}=\frac{2x-1}{x^3+1} \\ \frac{2}{x^2-x+1}-\frac{1}{x+1}=\frac{2x-1}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)} /x^3+1 \\ 2\left(x+1\right)-\left(x^2-x+1\right)=2x-1 \\ 2x+2-x^2+x-1-2x+1=0 \\ -x^2+x+2=0 \\ D=1^2-4·\left(-1\right)·2=1+8=9 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{9}}{-2}; x=\frac{-1\pm 3}{-2} \\ {x}_1=-1; x_2=2 \end{gathered}$$

Если x=-1, то $x^3+1={\left(-1\right)}^3+1=-1+1=0,$

если x=2, то x³+1=2³+1=9≠0

Ответ: 2

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{10}{x^2-4}-\frac{3}{2x-4}=\frac{1}{2} \\ \frac{10}{(x-2)(x+2)}-\frac{3}{2(x-2)}=\frac{1}{2} /·2(x-2)(x+2) \\ 10·2-3(x+2)=(x-2)(x+2) \\ 20-3x-6=x^2-4 \\ 14-3x=x^2-4 \\ {x}^2+3x-4-14=0 \\ {x}^2+3x-18=0 \\ D=3^2-4·1·\left(-18\right)=9+72=81 \\ x=\frac{-3\pm \sqrt{81}}{2}; x=\frac{-3\pm 9}{2} \\ {x}_1=3; x_2=-6 \end{gathered}$$

Если x=3, то x²-4=3²-4=5≠0,

если x=-6, то x²-4=(-6)²-4=32≠0

Ответ: -6; 3

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}x-\frac{x^2-17}{x-3}=\frac{5}{x} \mathrm{/}·x\left(x-3\right) \\ x·x\left(x-3\right)-\left(x^2-17\right)x=5\left(x-3\right) \\ {x}^3-3x^2-x^3+17x=5x-15 \\ -3x^2+17x-5x+15=0 \\ -3x^2+12x+15=0 \mathrm{/}:\left(-3\right) \\ {x}^2-4x-5=0 \\ D={\left(-4\right)}^2-4·1·\left(-5\right)=16+20=36 \\ x=\frac{4\pm \sqrt{36}}{2}; x=\frac{4\pm 6}{2} \\ {x}_1=5; x_2=-1 \end{gathered}$$

Если x=5, то $x\left(x-3\right)=5\left(5-3\right)=10\mathrm{\ne }0x(x\; -\; 3)\; =\; 5(5\; -\; 3)\; =\; 10\; \ne \; 0$,

если x=-1, то $x\left(x-3\right)=-1\left(-1-3\right)=-1\left(-4\right)=4\mathrm{\ne }0x(x\; -\; 3)\; =\; -1(-1\; -\; 3)\; =\; -1(-4)\; =\; 4\; \ne \; 0$

Ответ: -1; 5

а) $\frac{8x^2-3}{5} - \frac{5-9x^2}{4} = 2$

Для решения данного уравнения необходимо избавиться от дробных коэффициентов. Для этого умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 4, которое равно 20.

$20 \cdot \left(\frac{8x^2-3}{5} - \frac{5-9x^2}{4}\right) = 20 \cdot 2$

$4(8x^2-3) - 5(5-9x^2) = 40$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$32x^2 - 12 - 25 + 45x^2 = 40$

Приведем подобные слагаемые:

$(32+45)x^2 - (12+25) = 40$

$77x^2 - 37 = 40$

Перенесем свободный член в правую часть:

$77x^2 = 40 + 37$

$77x^2 = 77$

Разделим обе части на 77:

$x^2 = 1$

Из этого следует, что уравнение имеет два корня:

$x_1 = 1$, $x_2 = -1$

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 1$.

б) $\frac{2}{x^2-x+1} - \frac{1}{x+1} = \frac{2x-1}{x^3+1}$

Вначале определим область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.

1. $x^2-x+1 \neq 0$. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен, выражение $x^2-x+1$ всегда больше нуля.

2. $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

3. Заметим, что $x^3+1$ является суммой кубов и раскладывается на множители: $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$. Таким образом, условие $x^3+1 \neq 0$ эквивалентно условиям $x+1 \neq 0$ и $x^2-x+1 \neq 0$.

ОДЗ: $x \neq -1$.

Перепишем уравнение, используя разложение знаменателя:

$\frac{2}{x^2-x+1} - \frac{1}{x+1} = \frac{2x-1}{(x+1)(x^2-x+1)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x+1)(x^2-x+1)$ при условии, что $x \neq -1$:

$2(x+1) - 1(x^2-x+1) = 2x-1$

Раскроем скобки:

$2x + 2 - x^2 + x - 1 = 2x - 1$

Приведем подобные слагаемые:

$-x^2 + 3x + 1 = 2x - 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 3x - 1 + 2x - 1 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Отсюда находим корни:

$x_1 = 2$, $x_2 = -1$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq -1$).

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним корнем.

Ответ: $x=2$.

в) $\frac{10}{x^2-4} - \frac{3}{2x-4} = \frac{1}{2}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:

1. $x^2-4 \neq 0 \implies (x-2)(x+2) \neq 0 \implies x \neq 2$ и $x \neq -2$.

2. $2x-4 \neq 0 \implies 2(x-2) \neq 0 \implies x \neq 2$.

ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Разложим знаменатели на множители и приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{10}{(x-2)(x+2)} - \frac{3}{2(x-2)} = \frac{1}{2}$

Общий знаменатель $2(x-2)(x+2)$. Умножим обе части уравнения на него:

$10 \cdot 2 - 3 \cdot (x+2) = 1 \cdot (x-2)(x+2)$

Раскроем скобки:

$20 - 3x - 6 = x^2 - 4$

Упростим левую часть:

$14 - 3x = x^2 - 4$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = x^2 + 3x - 4 - 14$

$x^2 + 3x - 18 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение -18. Подходят числа -6 и 3.

$x_1 = -6$, $x_2 = 3$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 2, x \neq -2$).

Ответ: $x_1 = -6, x_2 = 3$.

г) $x - \frac{x^2-17}{x-3} = \frac{5}{x}$

Найдем ОДЗ уравнения. Знаменатели не должны быть равны нулю:

1. $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.

2. $x \neq 0$.

ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 3$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x-3)$:

$x \cdot x(x-3) - (x^2-17) \cdot x = 5 \cdot (x-3)$

Раскроем скобки:

$x^2(x-3) - x^3 + 17x = 5x - 15$

$x^3 - 3x^2 - x^3 + 17x = 5x - 15$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-3x^2 + 17x = 5x - 15$

Перенесем все члены в левую часть и приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$-3x^2 + 17x - 5x + 15 = 0$

$-3x^2 + 12x + 15 = 0$

Разделим обе части на -3 для упрощения:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение -5. Это корни:

$x_1 = 5$, $x_2 = -1$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0, x \neq 3$).

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 5$.