Номер 875, страница 194 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

35. Свойства числовых неравенств. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 875, страница 194.

875. Сравните числа:

а) $\sqrt{11}\backslash sqrt\{11\}$+13>15, так как

$\sqrt{9}\backslash sqrt\{9\}$<$\sqrt{11}\backslash sqrt\{11\}$<$\sqrt{16}\backslash sqrt\{16\}$

3<$\sqrt{11}\backslash sqrt\{11\}$<4

3+13<$\sqrt{11}\backslash sqrt\{11\}$+13<4+13

16<$\sqrt{11}\backslash sqrt\{11\}$+13<17

б) $\sqrt{84}\backslash sqrt\{84\}$<7+$\sqrt{6}\backslash sqrt\{6\}$

($\sqrt{84}\backslash sqrt\{84\}$ )²<(7+$\sqrt{6}\backslash sqrt\{6\}$)²

84<49+14$\sqrt{6}\backslash sqrt\{6\}$+6

84-55<55+14$\sqrt{6}\backslash sqrt\{6\}$-55

29<14$\sqrt{6}\backslash sqrt\{6\}$

29²<(14$\sqrt{6}\backslash sqrt\{6\}$)²

841<1176

в) $\sqrt{8}\backslash sqrt\{8\}$-$\sqrt{3}\backslash sqrt\{3\}$<2, так как

$\sqrt{4}\backslash sqrt\{4\}$<$\sqrt{8}\backslash sqrt\{8\}$<$\sqrt{9}\backslash sqrt\{9\}$

$\begin{array}{cc}+& \begin{array}{l}2<\sqrt{8}<3\\ -2<-\sqrt{3}<-1\end{array}\\ & \overline{0<\sqrt{8}-\sqrt{3}<2}\end{array}$

г) $\sqrt{47}\backslash sqrt\{47\}$-$\sqrt{7}\backslash sqrt\{7\}$<5, так как

$\sqrt{36}\backslash sqrt\{36\}$<$\sqrt{47}\backslash sqrt\{47\}$<$\sqrt{49}\backslash sqrt\{49\}$

$\begin{array}{cc}+& \begin{array}{l}6<\sqrt{47}<7\\ -3<-\sqrt{7}<-2\end{array}\\ & \overline{3<\sqrt{47}-\sqrt{7}<5}\end{array}$

а) Чтобы сравнить числа $\sqrt{11} + 13$ и $15$, вычтем из обоих чисел $13$.
Получим $\sqrt{11} + 13 - 13$ и $15 - 13$.
Теперь нужно сравнить $\sqrt{11}$ и $2$.
Так как оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты.
$(\sqrt{11})^2 = 11$
$2^2 = 4$
Поскольку $11 > 4$, то и $\sqrt{11} > \sqrt{4}$, а значит $\sqrt{11} > 2$.
Следовательно, если к большей величине ($\sqrt{11}$) прибавить $13$, результат будет больше, чем если к меньшей величине ($2$) прибавить $13$.
Таким образом, $\sqrt{11} + 13 > 15$.
Ответ: $\sqrt{11} + 13 > 15$.

б) Сравним числа $\sqrt{84}$ и $7 + \sqrt{6}$.
Оба числа положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты.
$(\sqrt{84})^2 = 84$.
$(7 + \sqrt{6})^2 = 7^2 + 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 49 + 14\sqrt{6} + 6 = 55 + 14\sqrt{6}$.
Теперь сравним $84$ и $55 + 14\sqrt{6}$.
Вычтем из обоих выражений $55$:
$84 - 55$ и $14\sqrt{6}$
$29$ и $14\sqrt{6}$
Снова возведем оба положительных числа в квадрат:
$29^2 = 841$
$(14\sqrt{6})^2 = 14^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 196 \cdot 6 = 1176$
Поскольку $841 < 1176$, то $29 < 14\sqrt{6}$.
Проведя рассуждения в обратном порядке, получаем, что $\sqrt{84} < 7 + \sqrt{6}$.
Ответ: $\sqrt{84} < 7 + \sqrt{6}$.

в) Сравним числа $\sqrt{8} - \sqrt{3}$ и $2$.
Поскольку $8>3$, то $\sqrt{8} > \sqrt{3}$ и $\sqrt{8} - \sqrt{3} > 0$. Число $2$ также положительно.
Чтобы избавиться от знака минус, перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть предполагаемого неравенства. Нам нужно сравнить $\sqrt{8}$ и $2 + \sqrt{3}$.
Оба числа положительны, поэтому возведем их в квадрат.
$(\sqrt{8})^2 = 8$.
$(2 + \sqrt{3})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$.
Теперь сравним $8$ и $7 + 4\sqrt{3}$.
Вычтем из обоих выражений $7$:
$8 - 7$ и $4\sqrt{3}$
$1$ и $4\sqrt{3}$
Возведем в квадрат оба положительных числа: $1^2 = 1$ и $(4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$.
Так как $1 < 48$, то $1 < 4\sqrt{3}$.
Следовательно, $\sqrt{8} < 2 + \sqrt{3}$, а значит $\sqrt{8} - \sqrt{3} < 2$.
Ответ: $\sqrt{8} - \sqrt{3} < 2$.

г) Сравним числа $\sqrt{47} - \sqrt{7}$ и $5$.
Поскольку $47>7$, то $\sqrt{47} > \sqrt{7}$ и $\sqrt{47} - \sqrt{7} > 0$. Число $5$ также положительно.
Перенесем $\sqrt{7}$ в правую часть, чтобы работать с положительными числами. Сравним $\sqrt{47}$ и $5 + \sqrt{7}$.
Оба выражения положительны, возведем их в квадрат.
$(\sqrt{47})^2 = 47$.
$(5 + \sqrt{7})^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 25 + 10\sqrt{7} + 7 = 32 + 10\sqrt{7}$.
Теперь сравним $47$ и $32 + 10\sqrt{7}$.
Вычтем из обоих выражений $32$:
$47 - 32$ и $10\sqrt{7}$
$15$ и $10\sqrt{7}$
Снова возведем в квадрат оба положительных числа:
$15^2 = 225$
$(10\sqrt{7})^2 = 10^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 100 \cdot 7 = 700$
Поскольку $225 < 700$, то $15 < 10\sqrt{7}$.
Значит, $47 < 32 + 10\sqrt{7}$, и, следовательно, $\sqrt{47} < 5 + \sqrt{7}$, откуда $\sqrt{47} - \sqrt{7} < 5$.
Ответ: $\sqrt{47} - \sqrt{7} < 5$.