Номер 876, страница 194 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

35. Свойства числовых неравенств. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 876, страница 194.

876. Сравните числа:

а) $\sqrt{2}+5>2+\sqrt{5}\backslash sqrt\{2\}+5\; >\; 2+\backslash sqrt\{5\}$, так как

$$\begin{gathered} 1<\sqrt{2}<2 \\ 1+5<\sqrt{2}+5<2+5 \\ 6<\sqrt{2}+5<7 \\ 2<\sqrt{5}<3 \\ 2+2<\sqrt{5}+2<3+2 \\ 4<\sqrt{5}+2<5 \end{gathered}$$

б) , так как

$$\begin{gathered} 1<\sqrt{3}<2 \\ 1-4<\sqrt{3}-4<2-4 \\ -3<\sqrt{3}-4<-2 \\ 2<\sqrt{5}<3 \\ -3<-\sqrt{5}<-2 \\ 1-3<1-\sqrt{5}<1-2 \\ -2<1-\sqrt{5}<-1 \end{gathered}$$

в) , так как

$$\begin{gathered} 1<\sqrt{3}<2 \\ 2<2\sqrt{3}<4 \\ 2+23<2\sqrt{3}+23<4+23 \\ 25<2\sqrt{3}+23<27 \\ \frac{25}{3}<\frac{2\sqrt{3}+23}{3}<9 \end{gathered}$$

г) $\frac{1-\sqrt{15}}{12}>-\frac{7}{8}$, так как

$$\begin{gathered} 3<\sqrt{15}<4 \\ -4<-\sqrt{15}<-3 \\ 1-4<1-\sqrt{15}<1-3 \\ -3<1-\sqrt{15}<-2 \\ -\frac{3}{12}<\frac{1-\sqrt{15}}{12}<-\frac{2}{12} \\ -\frac{6}{24}<\frac{2\left(1-\sqrt{15}\right)}{24}<\frac{-4}{24} \\ -\frac{7}{8}=-\frac{21}{24} \end{gathered}$$

а) Сравним числа $\sqrt{2} + 5$ и $2 + \sqrt{5}$.

Чтобы сравнить эти два выражения, вычтем из обоих выражений одинаковые числа, чтобы упростить их. Вычтем 2 из обеих частей:

Сравним $\sqrt{2} + 5 - 2$ и $2 + \sqrt{5} - 2$, то есть $\sqrt{2} + 3$ и $\sqrt{5}$.

Так как обе части, $\sqrt{2} + 3$ и $\sqrt{5}$, положительны, мы можем сравнить их квадраты. Знак неравенства при этом не изменится.

Сравним $(\sqrt{2} + 3)^2$ и $(\sqrt{5})^2$.

$(\sqrt{2} + 3)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + 3^2 = 2 + 6\sqrt{2} + 9 = 11 + 6\sqrt{2}$.

$(\sqrt{5})^2 = 5$.

Теперь сравним $11 + 6\sqrt{2}$ и $5$.

Очевидно, что $11 + 6\sqrt{2} > 5$, так как $11 > 5$ и $6\sqrt{2}$ — положительное число.

Поскольку $11 + 6\sqrt{2} > 5$, то и $(\sqrt{2} + 3)^2 > (\sqrt{5})^2$, и $\sqrt{2} + 3 > \sqrt{5}$.

Следовательно, $\sqrt{2} + 5 > 2 + \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{2} + 5 > 2 + \sqrt{5}$.

б) Сравним числа $\sqrt{3} - 4$ и $1 - \sqrt{5}$.

Оба числа отрицательные, так как $\sqrt{3} < \sqrt{16}=4$ и $\sqrt{5} > \sqrt{1}=1$.

Предположим, что $\sqrt{3} - 4 < 1 - \sqrt{5}$. Перенесем члены с корнями в одну сторону, а целые числа в другую:

$\sqrt{3} + \sqrt{5} < 1 + 4$

$\sqrt{3} + \sqrt{5} < 5$

Обе части неравенства положительны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:

$(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 < 5^2$

$(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 < 25$

$3 + 2\sqrt{15} + 5 < 25$

$8 + 2\sqrt{15} < 25$

$2\sqrt{15} < 17$

Обе части снова положительны, возведем их в квадрат:

$(2\sqrt{15})^2 < 17^2$

$4 \cdot 15 < 289$

$60 < 289$

Полученное неравенство верно. Значит, наше первоначальное предположение было верным.

Ответ: $\sqrt{3} - 4 < 1 - \sqrt{5}$.

в) Сравним дробь $\frac{2\sqrt{3} + 23}{3}$ и число $9$.

Умножим оба сравниваемых числа на 3, чтобы избавиться от знаменателя. Так как 3 — положительное число, знак сравнения не изменится.

Сравним $2\sqrt{3} + 23$ и $9 \cdot 3 = 27$.

Вычтем 23 из обеих частей:

Сравним $2\sqrt{3}$ и $27 - 23 = 4$.

Разделим обе части на 2:

Сравним $\sqrt{3}$ и $2$.

Представим 2 как корень: $2 = \sqrt{4}$.

Поскольку $3 < 4$, то $\sqrt{3} < \sqrt{4}$, а значит $\sqrt{3} < 2$.

Так как все преобразования были равносильными, то исходное неравенство имеет тот же знак.

Ответ: $\frac{2\sqrt{3} + 23}{3} < 9$.

г) Сравним числа $\frac{1 - \sqrt{15}}{12}$ и $-\frac{7}{8}$.

Оба числа отрицательны, так как $\sqrt{15} > \sqrt{1}=1$, поэтому $1-\sqrt{15} < 0$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 12 и 8 равно 24.

$\frac{1 - \sqrt{15}}{12} = \frac{2(1 - \sqrt{15})}{24} = \frac{2 - 2\sqrt{15}}{24}$

$-\frac{7}{8} = -\frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{-21}{24}$

Теперь сравним числители: $2 - 2\sqrt{15}$ и $-21$.

Вычтем 2 из обеих частей:

Сравним $-2\sqrt{15}$ и $-23$.

Умножим обе части на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Сравним $2\sqrt{15}$ и $23$.

Обе части положительны, возведем их в квадрат:

$(2\sqrt{15})^2 = 4 \cdot 15 = 60$.

$23^2 = 529$.

Поскольку $60 < 529$, то $2\sqrt{15} < 23$.

Вернемся к сравнению $-2\sqrt{15}$ и $-23$. Так как $2\sqrt{15} < 23$, то при умножении на -1 получаем $-2\sqrt{15} > -23$.

Значит, $2 - 2\sqrt{15} > -21$.

Так как знаменатель 24 положителен, то и $\frac{2 - 2\sqrt{15}}{24} > \frac{-21}{24}$.

Ответ: $\frac{1 - \sqrt{15}}{12} > -\frac{7}{8}$.