Номер 873, страница 194 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

35. Свойства числовых неравенств. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 873, страница 194.

873. Пользуясь тем, что 1,4 ‹ 2 ‹ 1,5, оцените значение выражения:

1,4<$\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$<1,5

a) 1,4+1<$\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$+1<1,5+1

2,4<$\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$+1<2,5

б) 1,4-1<$\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$-1<1,5-1

0,4<$\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$-1<0,5

в)-1,5<$-\sqrt{2}-\backslash sqrt\{2\}$<-1,4

2-1,5<2-$\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$<2-1,4

0,5<2-$\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$<0,6

а)

Чтобы оценить значение выражения $\sqrt{2} + 1$, используем данное в условии двойное неравенство $1,4 < \sqrt{2} < 1,5$. Согласно свойствам неравенств, мы можем прибавить одно и то же число ко всем его частям, при этом знак неравенства сохранится. Прибавим 1 ко всем частям:

$1,4 + 1 < \sqrt{2} + 1 < 1,5 + 1$

Выполнив сложение, получим оценку для заданного выражения:

$2,4 < \sqrt{2} + 1 < 2,5$

Ответ: $2,4 < \sqrt{2} + 1 < 2,5$

б)

Для оценки значения выражения $\sqrt{2} - 1$ воспользуемся тем же исходным неравенством $1,4 < \sqrt{2} < 1,5$. Вычтем число 1 из всех частей неравенства. Знак неравенства при этом не изменится:

$1,4 - 1 < \sqrt{2} - 1 < 1,5 - 1$

Выполнив вычитание, получим искомую оценку:

$0,4 < \sqrt{2} - 1 < 0,5$

Ответ: $0,4 < \sqrt{2} - 1 < 0,5$

в)

Для оценки значения выражения $2 - \sqrt{2}$ начнем с неравенства $1,4 < \sqrt{2} < 1,5$. Сначала нам нужно получить оценку для $-\sqrt{2}$. Для этого умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1,4 > -\sqrt{2} > -1,5$

Для удобства перепишем это неравенство в привычном порядке (от меньшего к большему):

$-1,5 < -\sqrt{2} < -1,4$

Теперь прибавим число 2 ко всем частям нового неравенства. Знак неравенства не изменится:

$2 - 1,5 < 2 - \sqrt{2} < 2 - 1,4$

Выполнив вычитание, получаем конечную оценку:

$0,5 < 2 - \sqrt{2} < 0,6$

Ответ: $0,5 < 2 - \sqrt{2} < 0,6$