Номер 870, страница 194 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

35. Свойства числовых неравенств. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 870, страница 194.

870. (Для работы в парах.) Известно, что a — положительное число.

а) Расположите в порядке возрастания числа:

б) Расположите в порядке убывания числа:

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание. Исправьте допущенные ошибки.

$a>0a>0$

a) $-a; a\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right); a\sqrt{3}; 2a; 3a-a;\; a\; (\backslash sqrt\{3\}-\backslash sqrt\{2\});\; a\backslash sqrt\{3\};\; 2a;\; 3a$

б) $6a; a\left(\sqrt{7}-\sqrt{6}\right); -a; -a\sqrt{5}; -5a-16a;\; a(\backslash sqrt\{7\}-\backslash sqrt\{6\});\; -a;\; -a\backslash sqrt\{5\};\; -5a-1$

а) Расположите в порядке возрастания числа: $2a, a\sqrt{3}, -a, a(\sqrt{3}-\sqrt{2}), 3a$.

По условию, $a$ — положительное число, то есть $a > 0$. Чтобы сравнить данные числа, мы можем сравнить их коэффициенты, разделив каждое число на $a$. Так как $a > 0$, знак неравенства при делении не изменится.

Получим следующие коэффициенты: $2, \sqrt{3}, -1, (\sqrt{3}-\sqrt{2}), 3$.

Теперь сравним эти коэффициенты в порядке возрастания.
1. Коэффициент $-1$ является единственным отрицательным числом, следовательно, он наименьший.
2. Сравним остальные (положительные) коэффициенты: $2, \sqrt{3}, (\sqrt{3}-\sqrt{2}), 3$.
Для сравнения воспользуемся тем, что $\sqrt{2} \approx 1.414$, а $\sqrt{3} \approx 1.732$.
Тогда $\sqrt{3}-\sqrt{2} \approx 1.732 - 1.414 = 0.318$.
Теперь очевиден порядок чисел: $0.318 < 1.732 < 2 < 3$.
Проведем строгое сравнение без приближенных вычислений:
- Сравним $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ и $1$. Преобразуем выражение: $\sqrt{3}-\sqrt{2} = \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{3-2}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$. Так как $\sqrt{3} > 1$ и $\sqrt{2} > 1$, то $\sqrt{3}+\sqrt{2} > 2$, а значит $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} < \frac{1}{2} < 1$.
- Сравним $\sqrt{3}$ и $2$. Так как $3 < 4$, то $\sqrt{3} < \sqrt{4} = 2$.
Таким образом, мы получили следующую упорядоченную последовательность для коэффициентов:
$-1 < \sqrt{3}-\sqrt{2} < \sqrt{3} < 2 < 3$.

3. Умножим все части этого неравенства на $a$. Так как $a > 0$, знаки неравенства сохранятся:
$-a < a(\sqrt{3}-\sqrt{2}) < a\sqrt{3} < 2a < 3a$.

Ответ: $-a, a(\sqrt{3}-\sqrt{2}), a\sqrt{3}, 2a, 3a$.

б) Расположите в порядке убывания числа: $6a, -a\sqrt{5}, a(\sqrt{7}-\sqrt{6}), -a, -5a-1$.

По условию $a > 0$. Разделим числа на две группы: положительные и отрицательные.
Положительные числа: $6a$ и $a(\sqrt{7}-\sqrt{6})$ (так как $\sqrt{7} > \sqrt{6}$ implies $\sqrt{7}-\sqrt{6} > 0$).
Отрицательные числа: $-a\sqrt{5}$, $-a$, $-5a-1$ (так как $a > 0$, то $a\sqrt{5}>0$, $a>0$, $5a+1>0$).

Сначала сравним положительные числа, расположив их по убыванию.
Для этого сравним коэффициенты $6$ и $\sqrt{7}-\sqrt{6}$.
Преобразуем выражение: $\sqrt{7}-\sqrt{6} = \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{6})(\sqrt{7}+\sqrt{6})}{\sqrt{7}+\sqrt{6}} = \frac{7-6}{\sqrt{7}+\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$.
Так как $\sqrt{7} > \sqrt{4} = 2$ и $\sqrt{6} > \sqrt{4} = 2$, то их сумма $\sqrt{7}+\sqrt{6} > 4$.
Следовательно, $\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}} < \frac{1}{4}$.
Поскольку $6 > \frac{1}{4}$, то $6 > \sqrt{7}-\sqrt{6}$. Умножив на $a > 0$, получаем $6a > a(\sqrt{7}-\sqrt{6})$.
Порядок убывания для положительных чисел: $6a, a(\sqrt{7}-\sqrt{6})$.

Теперь сравним отрицательные числа, также расположив их по убыванию (от наибольшего к наименьшему, т.е. от наименее отрицательного к наиболее отрицательному).
Сравним $-a$, $-a\sqrt{5}$ и $-5a-1$.
1. Сравним $-a$ и $-a\sqrt{5}$. Так как $a>0$ и $\sqrt{5} > 1$, то $a\sqrt{5} > a$. Умножая обе части на $-1$, меняем знак неравенства: $-a\sqrt{5} < -a$, или $-a > -a\sqrt{5}$.
2. Сравним $-a\sqrt{5}$ и $-5a-1$. Это эквивалентно сравнению $a\sqrt{5}$ и $5a+1$. Так как $a>0$, оба выражения положительны, можно сравнить их квадраты: $(a\sqrt{5})^2 = 5a^2$ и $(5a+1)^2 = 25a^2+10a+1$. Разность $(25a^2+10a+1) - 5a^2 = 20a^2+10a+1$. Это выражение всегда положительно при $a>0$. Значит, $(5a+1)^2 > (a\sqrt{5})^2$, и следовательно $5a+1 > a\sqrt{5}$. Умножая на $-1$, получаем $-5a-1 < -a\sqrt{5}$, или $-a\sqrt{5} > -5a-1$.
Объединяя результаты (1) и (2), получаем: $-a > -a\sqrt{5} > -5a-1$.
Порядок убывания для отрицательных чисел: $-a, -a\sqrt{5}, -5a-1$.

Любое положительное число больше любого отрицательного. Соединяя обе упорядоченные группы, получаем итоговый порядок убывания:
$6a, a(\sqrt{7}-\sqrt{6}), -a, -a\sqrt{5}, -5a-1$.

Ответ: $6a, a(\sqrt{7}-\sqrt{6}), -a, -a\sqrt{5}, -5a-1$.