Номер 868, страница 193 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

35. Свойства числовых неравенств. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 868, страница 193.

868. Известно, что c > d. Объясните, на основании каких свойств можно утверждать, что верно неравенство:

$c>dc>d$

a)

Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный;

б) $\frac{c}{8}>\frac{d}{8}\backslash frac\{c\}\{8\}>\backslash frac\{d\}\{8\}$

Если обе части верного неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.

в) $2c+11>2d+112c+11>\; 2d+11$

Сначала обе части верного неравенства умножаем на одно и то же положительное число 2. Знак неравенства не меняется: $2c>2d.$ Затем к обеим частям нового верного неравенства прибавляем одно и то же число 11 и получаем верное неравенство, знак которого не меняется

г) $0,01c-0,7>0,01d-0,7$

Сначала обе части верного неравенства умножаем на одно и то же положительное число 0,01. Знак неравенства не меняется:

$0,01c>0,01d0,01c>0,01d$

Затем к обеим частям нового верного неравенства прибавляем одно и то же число (-0,7) и получаем верное неравенство, знак которого не меняется

д) $1-c<1-d$

Обе части верного неравенства умножаем на одно и то же отрицательное число (-1) и меняем знак неравенства на противоположный: $-c<-d\mathrm{.}$ Затем к обеим частям нового верного неравенства прибавим одно и то же число 1. Получим верное неравенство, знак которого не меняется

e) $2-\frac{c}{2}<2-\frac{d}{2}$

Обе части верного неравенства делим на одно и то же отрицательное число (-2), меняя знак неравенства на противоположный: $-\frac{c}{2}>-\frac{d}{2}-\backslash frac\{c\}\{2\}>-\backslash frac\{d\}\{2\}$. Затем к обеим частям нового верного неравенства прибавим одно и то же число 2. Получим верное неравенство, знак которого не меняется

а) Исходное неравенство $c > d$. Чтобы получить неравенство $-7c < -7d$, необходимо обе части исходного неравенства умножить на $-7$.
Применяется следующее свойство числовых неравенств: при умножении обеих частей верного неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
Поскольку число $-7$ отрицательное, знак неравенства $>$ меняется на $<$:
$c > d \quad|\cdot(-7)$
$-7c < -7d$
Ответ: Неравенство $-7c < -7d$ является верным, так как оно получено из верного неравенства $c > d$ путем умножения обеих его частей на отрицательное число $-7$ и смены знака неравенства с $>$ на $<$.

б) Исходное неравенство $c > d$. Чтобы получить неравенство $\frac{c}{8} > \frac{d}{8}$, необходимо обе части исходного неравенства разделить на $8$.
Применяется следующее свойство числовых неравенств: при делении обеих частей верного неравенства на одно и то же положительное число знак неравенства сохраняется.
Поскольку число $8$ положительное, знак неравенства $>$ сохраняется:
$c > d \quad|:8$
$\frac{c}{8} > \frac{d}{8}$
Ответ: Неравенство $\frac{c}{8} > \frac{d}{8}$ является верным, так как оно получено из верного неравенства $c > d$ путем деления обеих его частей на положительное число $8$ с сохранением знака неравенства.

в) Исходное неравенство $c > d$. Чтобы получить неравенство $2c + 11 > 2d + 11$, необходимо выполнить два действия.
1. Умножить обе части на $2$. Так как $2 > 0$, то на основании свойства об умножении на положительное число, знак неравенства сохраняется: $2c > 2d$.
2. Прибавить к обеим частям полученного неравенства число $11$. На основании свойства о прибавлении числа к неравенству, знак неравенства сохраняется: $2c + 11 > 2d + 11$.
Ответ: Неравенство $2c + 11 > 2d + 11$ является верным, так как при умножении на положительное число и прибавлении любого числа знак неравенства не меняется.

г) Исходное неравенство $c > d$. Чтобы получить неравенство $0,01c - 0,7 > 0,01d - 0,7$, необходимо выполнить два действия.
1. Умножить обе части на $0,01$. Так как $0,01 > 0$, то на основании свойства об умножении на положительное число, знак неравенства сохраняется: $0,01c > 0,01d$.
2. Вычесть из обеих частей полученного неравенства число $0,7$ (что равносильно прибавлению $-0,7$). На основании свойства о прибавлении числа к неравенству, знак неравенства сохраняется: $0,01c - 0,7 > 0,01d - 0,7$.
Ответ: Неравенство $0,01c - 0,7 > 0,01d - 0,7$ является верным, так как при умножении на положительное число и вычитании любого числа знак неравенства не меняется.

д) Исходное неравенство $c > d$. Чтобы получить неравенство $1 - c < 1 - d$, необходимо выполнить два действия.
1. Умножить обе части на $-1$. Так как $-1 < 0$, то на основании свойства об умножении на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный: $-c < -d$.
2. Прибавить к обеим частям полученного неравенства число $1$. На основании свойства о прибавлении числа к неравенству, знак неравенства не меняется: $1 - c < 1 - d$.
Ответ: Неравенство $1 - c < 1 - d$ является верным, так как оно получено путем умножения исходного неравенства на отрицательное число $-1$ (смена знака) и последующего прибавления числа $1$ (сохранение знака).

е) Исходное неравенство $c > d$. Чтобы получить неравенство $2 - \frac{c}{2} < 2 - \frac{d}{2}$, необходимо выполнить два действия.
1. Разделить обе части на $-2$. Так как $-2 < 0$, то на основании свойства о делении на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{c}{2} < -\frac{d}{2}$.
2. Прибавить к обеим частям полученного неравенства число $2$. На основании свойства о прибавлении числа к неравенству, знак неравенства не меняется: $2 - \frac{c}{2} < 2 - \frac{d}{2}$.
Ответ: Неравенство $2 - \frac{c}{2} < 2 - \frac{d}{2}$ является верным, так как оно получено путем деления исходного неравенства на отрицательное число $-2$ (смена знака) и последующего прибавления числа $2$ (сохранение знака).