Номер 906, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Пересечение и объединение множеств. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 906, страница 202.

906. (Для работы в парах.) Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множествами A и B и найдите пересечение и объединение этих множеств, если:

а) A — множество целых чисел, кратных 3, B — множество целых чисел, кратных 5;

б) A — множество целых чисел, кратных 3, B — множество целых чисел, кратных 15.

1) Распределите, кто выполняет задания для случая а), а кто — для случая б), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, верно ли выполнен рисунок и правильно ли найдены пересечение и объединение множеств A и B.

3) Исправьте ошибки, если они допущены.

a) A={..,3; 6; 9; 12; 15; 18,... }

B={.., 5; 10; 15, 20,... }

$A\cap BA\; \backslash cap\; B$={..,15; 30; 45,... } – множество целых чисел, кратных 15

$A\cup BA\; \backslash cup\; B$={...,3; 5; 6; 9; 10; 12; 15;... } множество целых чисел, кратных и 3, и 5

б) A={.., 3; 6, 9; 12; 15; 18;... }

B={15; 30; 45; 60,... }

$A\cup B=A$; $A\cap B=B$

а) A — множество целых чисел, кратных 3; B — множество целых чисел, кратных 5.

Соотношение множеств и диаграмма Эйлера:
Множества A и B пересекаются, так как существуют числа, которые кратны одновременно и 3, и 5 (например, 15, 30, -15). Однако ни одно из множеств не является подмножеством другого, так как существуют числа, кратные 3, но не кратные 5 (например, 6, 9), и, наоборот, числа, кратные 5, но не кратные 3 (например, 10, 25). На диаграмме Эйлера такое соотношение изображается в виде двух пересекающихся кругов.

Пересечение и объединение:
Пересечение $A \cap B$ — это множество элементов, которые принадлежат одновременно и множеству A, и множеству B. Это множество целых чисел, которые делятся и на 3, и на 5. Число, делящееся на 3 и на 5, делится на их наименьшее общее кратное. НОК(3, 5) = 15. Таким образом, пересечение множеств A и B — это множество целых чисел, кратных 15.
Объединение $A \cup B$ — это множество элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств (A или B). Это множество целых чисел, которые кратны 3 или кратны 5.

Ответ: Пересечение $A \cap B$ — это множество целых чисел, кратных 15. Объединение $A \cup B$ — это множество целых чисел, кратных 3 или 5.

б) A — множество целых чисел, кратных 3; B — множество целых чисел, кратных 15.

Соотношение множеств и диаграмма Эйлера:
Любое число, которое делится на 15, также делится и на 3, поскольку $15 = 3 \cdot 5$. Это означает, что каждый элемент множества B является также и элементом множества A. Следовательно, множество B является подмножеством множества A ($B \subset A$). На диаграмме Эйлера это соотношение изображается в виде круга, представляющего множество B, который полностью находится внутри круга, представляющего множество A.

Пересечение и объединение:
Пересечение $A \cap B$ — это множество элементов, общих для обоих множеств. Так как все элементы множества B содержатся во множестве A, их пересечением является само множество B. То есть, $A \cap B = B$. Это множество целых чисел, кратных 15.
Объединение $A \cup B$ — это множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств. Так как все элементы множества B уже содержатся во множестве A, их объединением является множество A. То есть, $A \cup B = A$. Это множество целых чисел, кратных 3.

Ответ: Пересечение $A \cap B$ — это множество целых чисел, кратных 15 (т. е. $A \cap B = B$). Объединение $A \cup B$ — это множество целых чисел, кратных 3 (т. е. $A \cup B = A$).