Номер 928, страница 207 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Числовые промежутки. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 928, страница 207.

928. Упростите выражение:

a) $\frac{1+\frac{a-x}{x}}{ax}=\frac{\frac{x+a-x}{x}}{ax}=\frac{a}{x·ax}=\frac{1}{x^2}$

б) $\frac{\frac{a^2-b^2}{a^2}-1}{2a^2{b}^2}=\frac{\frac{a^2-b^2-a^2}{a^2}}{2a^2{b}^2}=-\frac{b^2}{a^2·2a^2{b}^2}=-\frac{1}{2a^4}$

а) Чтобы упростить данное выражение, сначала выполним сложение в числителе. Для этого приведем 1 к знаменателю $x$.

$1 + \frac{a-x}{x} = \frac{x}{x} + \frac{a-x}{x} = \frac{x + a - x}{x} = \frac{a}{x}$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$\frac{1 + \frac{a-x}{x}}{ax} = \frac{\frac{a}{x}}{ax}$

Чтобы разделить дробь на выражение, нужно умножить эту дробь на величину, обратную делителю:

$\frac{a}{x} \div ax = \frac{a}{x} \cdot \frac{1}{ax} = \frac{a}{x \cdot ax} = \frac{a}{a x^2}$

Сократим полученную дробь на $a$:

$\frac{a}{a x^2} = \frac{1}{x^2}$

Ответ: $\frac{1}{x^2}$

б) Сначала упростим числитель дроби, выполнив вычитание. Приведем 1 к знаменателю $a^2$.

$\frac{a^2-b^2}{a^2} - 1 = \frac{a^2-b^2}{a^2} - \frac{a^2}{a^2} = \frac{a^2 - b^2 - a^2}{a^2} = \frac{-b^2}{a^2}$

Подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$\frac{\frac{a^2-b^2}{a^2} - 1}{2a^2b^2} = \frac{\frac{-b^2}{a^2}}{2a^2b^2}$

Чтобы разделить дробь на выражение, умножим эту дробь на величину, обратную делителю:

$\frac{-b^2}{a^2} \div (2a^2b^2) = \frac{-b^2}{a^2} \cdot \frac{1}{2a^2b^2} = \frac{-b^2}{a^2 \cdot 2a^2b^2} = \frac{-b^2}{2a^4b^2}$

Сократим полученную дробь на $b^2$:

$\frac{-b^2}{2a^4b^2} = -\frac{1}{2a^4}$

Ответ: $-\frac{1}{2a^4}$