Номер 929, страница 207 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Числовые промежутки. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 929, страница 207.

929. Докажите неравенство a² + 5 > 2a.

a²+5>2a

a²-2a+5>0

a²-2a+1+4=(a-1)²+4>0

Для доказательства данного неравенства перенесем все его члены в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем:
$a^2 + 5 > 2a$
$a^2 - 2a + 5 > 0$

Теперь преобразуем левую часть полученного неравенства. Наша цель — показать, что это выражение всегда положительно. Для этого выделим в нем полный квадрат. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В выражении $a^2 - 2a$ мы видим первые два члена этой формулы, где $x=a$ и $2xy=2a$, что означает $y=1$. Для полного квадрата нам не хватает $+y^2$, то есть $+1^2 = 1$.
Представим число 5 в виде суммы $1 + 4$:
$a^2 - 2a + (1 + 4) > 0$

Теперь сгруппируем слагаемые, чтобы получить квадрат разности:
$(a^2 - 2a + 1) + 4 > 0$
$(a-1)^2 + 4 > 0$

Проанализируем полученное неравенство.
Выражение $(a-1)^2$ представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть его значение больше или равно нулю при любом a:
$(a-1)^2 \ge 0$
Если к неотрицательному числу прибавить положительное число 4, результат всегда будет положительным. Минимальное значение выражения $(a-1)^2$ равно 0 (достигается при $a=1$). Следовательно, наименьшее возможное значение всей левой части неравенства составляет $0 + 4 = 4$.
Таким образом, $(a-1)^2 + 4 \ge 4$.
Поскольку $4 > 0$, то и выражение $(a-1)^2 + 4$ всегда строго больше нуля для любого действительного значения a.

Мы доказали, что неравенство $(a-1)^2 + 4 > 0$ истинно для всех a. Так как это неравенство равносильно исходному, то и неравенство $a^2 + 5 > 2a$ верно для любого значения a.

Ответ: Неравенство доказано, так как оно сводится к верному неравенству $(a-1)^2 + 4 > 0$.