Страница 213 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

951. Решите неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{x}{2}+\frac{x}{3}<5 \mathrm{/}·6 \\ 3x+2x<30 \\ 5x<30 \\ x<6 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; 6\right)(-\backslash infty;\; 6)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{3y}{2}-\frac{y}{3}\ge 2 \mathrm{/}·6 \\ 9y-2y\ge 12 \\ 7y\ge 12 \\ y\ge \frac{12}{7} \\ y\ge 1\frac{5}{7} \end{gathered}$$

Ответ: $[1\frac{5}{7}; +\mathrm{\infty }[1\; \backslash frac\{5\}\{7\};+\backslash infty)$)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{x}{4}-\frac{x}{2}>-3 \mathrm{/}·4 \\ x-2x>-12 \\ -x>-12 \\ x<12 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; 12\right)(-\backslash infty;\; 12)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}y+\frac{y}{2}>3 \mathrm{/}·2 \\ 2y+y>6 \\ 3y>6 \\ y>2 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(2; +\mathrm{\infty }\right)(2;+\backslash infty)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{2x}{5}-x\le 1 \mathrm{/}·5 \\ 2x-5x\le 5 \\ -3x\le 5 \\ x\ge -\frac{5}{3} \\ x\ge -1\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Ответ: $[-1\frac{2}{3}; +\mathrm{\infty }[-1\; \backslash frac\{2\}\{3\};+\backslash infty)$)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}\frac{3x}{4}-2x<0 \mathrm{/}·4 \\ 3x-8x<0 \\ -5x<0 \\ x>0 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(0; +\mathrm{\infty }\right)(0;+\backslash infty)$

а) $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} < 5$

Чтобы решить неравенство, приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 - это 6. Умножим обе части неравенства на 6:

$6 \cdot (\frac{x}{2} + \frac{x}{3}) < 6 \cdot 5$

$\frac{6x}{2} + \frac{6x}{3} < 30$

$3x + 2x < 30$

Сложим подобные члены:

$5x < 30$

Разделим обе части на 5:

$x < 6$

Ответ: $x \in (-\infty; 6)$

б) $\frac{3y}{2} - \frac{y}{3} \ge 2$

Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 равен 6. Умножим обе части неравенства на 6:

$6 \cdot (\frac{3y}{2} - \frac{y}{3}) \ge 6 \cdot 2$

$3 \cdot 3y - 2 \cdot y \ge 12$

$9y - 2y \ge 12$

Приведем подобные члены:

$7y \ge 12$

Разделим обе части на 7:

$y \ge \frac{12}{7}$

Ответ: $y \in [\frac{12}{7}; +\infty)$

в) $\frac{x}{4} - \frac{x}{2} > -3$

Наименьший общий знаменатель для 4 и 2 равен 4. Умножим обе части неравенства на 4:

$4 \cdot (\frac{x}{4} - \frac{x}{2}) > 4 \cdot (-3)$

$x - 2x > -12$

$-x > -12$

Умножим обе части на -1, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 12$

Ответ: $x \in (-\infty; 12)$

г) $y + \frac{y}{2} > 3$

Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от дроби:

$2 \cdot (y + \frac{y}{2}) > 2 \cdot 3$

$2y + y > 6$

$3y > 6$

Разделим обе части на 3:

$y > 2$

Ответ: $y \in (2; +\infty)$

д) $\frac{2x}{5} - x \le 1$

Умножим обе части неравенства на 5:

$5 \cdot (\frac{2x}{5} - x) \le 5 \cdot 1$

$2x - 5x \le 5$

$-3x \le 5$

Разделим обе части на -3 и поменяем знак неравенства на противоположный:

$x \ge -\frac{5}{3}$

Ответ: $x \in [-\frac{5}{3}; +\infty)$

е) $\frac{3x}{4} - 2x < 0$

Умножим обе части неравенства на 4:

$4 \cdot (\frac{3x}{4} - 2x) < 4 \cdot 0$

$3x - 8x < 0$

$-5x < 0$

Разделим обе части на -5 и поменяем знак неравенства на противоположный:

$x > 0$

Ответ: $x \in (0; +\infty)$

952. Решите неравенство и покажите на координатной прямой множество его решений:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{13x-1}{2}<4x /·2 \\ 13x-1<8x \\ 13x-8x<1 \\ 5x<1 \\ x<\frac{1}{5} \\ x<\mathrm{0,2} \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; \mathrm{0,2}\right)(-\backslash infty;\; 0,2)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{5-2a}{4}\ge 2a /·4 \\ 5-2a\ge 8a \\ -2a-8a\ge -5 \\ -10a\ge -5 \\ a\le \mathrm{0,5} \end{gathered}$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; \mathrm{0,5}]$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{x}{4}-\frac{x}{5}\le 2 /·20 \\ 5x-4x\le 40 \\ x\le 40 \end{gathered}$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; 40]$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{2y}{5}-\frac{y}{2}\ge 1 /·10 \\ 4y-5y\ge 10 \\ -y\ge 10 \\ y\le -10 \end{gathered}$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; -10]$

а) Решим неравенство $\frac{13x - 1}{2} < 4x$.

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части неравенства на знаменатель 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$(13x - 1) < 4x \cdot 2$

$13x - 1 < 8x$

Теперь перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую. При переносе слагаемых из одной части в другую их знаки меняются на противоположные:

$13x - 8x < 1$

$5x < 1$

Разделим обе части неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$x < \frac{1}{5}$

Множество решений данного неравенства — это все числа, которые меньше $\frac{1}{5}$. В виде интервала это записывается как $(-\infty; \frac{1}{5})$.

Покажем множество решений на координатной прямой. Точка $\frac{1}{5}$ изображается выколотой (пустым кружком), так как неравенство строгое (знак <):

<--//////////////////--( 1/5 )------------------> x

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{5})$.

б) Решим неравенство $\frac{5 - 2a}{4} \ge 2a$.

Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателя. Знак неравенства не меняется:

$5 - 2a \ge 2a \cdot 4$

$5 - 2a \ge 8a$

Сгруппируем слагаемые с переменной $a$ в одной части, а числа — в другой:

$5 \ge 8a + 2a$

$5 \ge 10a$

Разделим обе части на 10. Знак неравенства не меняется:

$\frac{5}{10} \ge a$

$a \le \frac{1}{2}$

Множество решений — это все числа, которые меньше или равны $\frac{1}{2}$. В виде интервала это записывается как $(-\infty; \frac{1}{2}]$.

Покажем множество решений на координатной прямой. Точка $\frac{1}{2}$ изображается закрашенной (сплошным кружком), так как неравенство нестрогое (знак $\le$):

<--//////////////////--[ 1/2 ]------------------> a

Ответ: $a \in (-\infty; \frac{1}{2}]$.

в) Решим неравенство $\frac{x}{4} - \frac{x}{5} \le 2$.

Для начала приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 5 — это 20. Умножим все неравенство на 20:

$20 \cdot (\frac{x}{4} - \frac{x}{5}) \le 20 \cdot 2$

$\frac{20x}{4} - \frac{20x}{5} \le 40$

$5x - 4x \le 40$

$x \le 40$

Множество решений — это все числа, которые меньше или равны 40. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 40]$.

Покажем множество решений на координатной прямой. Точка 40 закрашена, так как неравенство нестрогое:

<--//////////////////--[ 40 ]-------------------> x

Ответ: $x \in (-\infty; 40]$.

г) Решим неравенство $\frac{2y}{5} - \frac{y}{2} \ge 1$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 2 — это 10. Умножим все неравенство на 10:

$10 \cdot (\frac{2y}{5} - \frac{y}{2}) \ge 10 \cdot 1$

$\frac{10 \cdot 2y}{5} - \frac{10y}{2} \ge 10$

$2 \cdot 2y - 5y \ge 10$

$4y - 5y \ge 10$

$-y \ge 10$

Разделим (или умножим) обе части неравенства на -1. При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$y \le -10$

Множество решений — это все числа, которые меньше или равны -10. В виде интервала это записывается как $(-\infty; -10]$.

Покажем множество решений на координатной прямой. Точка -10 закрашена, так как неравенство нестрогое:

<--//////////////////--[-10 ]-------------------> y

Ответ: $y \in (-\infty; -10]$.

953. Решите неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} \frac{3+x}{4}+\frac{2-x}{3}<0 /·12 \\ 3\left(3+x\right)+4\left(2-x\right)<0 \\ 9+3x+8-4x<0 \\ 17-x<0 \\ x>17 \end{gathered}$$

Ответ: (17; +∞)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} \frac{4-y}{5}-5y\ge 0 /·5 \\ 4-y-25y\ge 0 \\ 4-26y\ge 0 \\ 26y\le 4 \\ y\le \frac{4}{26} \\ y\le \frac{2}{13} \end{gathered}$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; \frac{2}{13}]$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}y-\frac{2y-1}{4}\ge 1 /·4 \\ 4y-\left(2y-1\right)\ge 4 \\ 4y-2y+1\ge 4 \\ 2y\ge 3 \\ y\ge 1,5 \end{gathered}$$

Ответ: [1,5;+∞)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} x-\frac{x-3}{5}+\frac{2x-1}{10}\le 4 /·10 \\ 10x-2\left(x-3\right)+\left(2x-1\right)\le 40 \\ 10x-2x+6+2x-1\le 40 \\ 10x+5\le 40 \\ 10x\le 35 \\ x\le \mathrm{3,5} \end{gathered}$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; 3,5]$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{y-1}{2}-1+\frac{2y-1}{6}>y /·6 \\ 3\left(y-1\right)-6+2y-1>6y \\ 3y-3-6+2y-1>6y \\ 5y-10>6y \\ 5y-6y>10 \\ -y>10 \\ y<-10 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; -10\right)(-\backslash infty;\; -10)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}p-\frac{p-1}{2}-\frac{p+3}{4}>2 /·4 \\ 4p-2\left(p-1\right)-\left(p+3\right)>8 \\ 4p-2p+2-p-3>8 \\ p-1>8 \\ p>9 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(9; +\mathrm{\infty }\right)(9;+\backslash infty)$

а) Исходное неравенство: $\frac{3+x}{4} + \frac{2-x}{3} < 0$.
Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 3, то есть на 12. Так как 12 – положительное число, знак неравенства не меняется.
$12 \cdot \left(\frac{3+x}{4} + \frac{2-x}{3}\right) < 12 \cdot 0$
$3(3+x) + 4(2-x) < 0$
Раскроем скобки:
$9 + 3x + 8 - 4x < 0$
Приведем подобные слагаемые:
$17 - x < 0$
Перенесем $-x$ в правую часть:
$17 < x$
Это означает, что $x$ больше 17.
Ответ: $x \in (17; +\infty)$.

б) Исходное неравенство: $\frac{4-y}{5} - 5y \ge 0$.
Умножим обе части неравенства на 5, чтобы избавиться от знаменателя. Знак неравенства не меняется.
$5 \cdot \left(\frac{4-y}{5} - 5y\right) \ge 5 \cdot 0$
$4 - y - 25y \ge 0$
Приведем подобные слагаемые:
$4 - 26y \ge 0$
Перенесем $-26y$ в правую часть:
$4 \ge 26y$
Разделим обе части на 26 (положительное число, знак не меняется) и поменяем части местами:
$y \le \frac{4}{26}$
Сократим дробь:
$y \le \frac{2}{13}$
Ответ: $y \in (-\infty; \frac{2}{13}]$.

в) Исходное неравенство: $y - \frac{2y-1}{4} \ge 1$.
Умножим обе части неравенства на 4. Знак неравенства не меняется.
$4 \cdot \left(y - \frac{2y-1}{4}\right) \ge 4 \cdot 1$
$4y - (2y-1) \ge 4$
Раскроем скобки (обращая внимание на знак минус перед скобкой):
$4y - 2y + 1 \ge 4$
Приведем подобные слагаемые:
$2y + 1 \ge 4$
Перенесем 1 в правую часть:
$2y \ge 4 - 1$
$2y \ge 3$
Разделим на 2:
$y \ge \frac{3}{2}$
Ответ: $y \in [\frac{3}{2}; +\infty)$.

г) Исходное неравенство: $x - \frac{x-3}{5} + \frac{2x-1}{10} \le 4$.
Умножим обе части на наименьший общий знаменатель 10. Знак неравенства не меняется.
$10 \cdot \left(x - \frac{x-3}{5} + \frac{2x-1}{10}\right) \le 10 \cdot 4$
$10x - 2(x-3) + (2x-1) \le 40$
Раскроем скобки:
$10x - 2x + 6 + 2x - 1 \le 40$
Приведем подобные слагаемые:
$10x + 5 \le 40$
Перенесем 5 в правую часть:
$10x \le 40 - 5$
$10x \le 35$
Разделим на 10:
$x \le \frac{35}{10}$
$x \le 3.5$ или $x \le \frac{7}{2}$.
Ответ: $x \in (-\infty; 3.5]$.

д) Исходное неравенство: $\frac{y-1}{2} - 1 + \frac{2y-1}{6} > y$.
Умножим обе части на наименьший общий знаменатель 6. Знак неравенства не меняется.
$6 \cdot \left(\frac{y-1}{2} - 1 + \frac{2y-1}{6}\right) > 6y$
$3(y-1) - 6 + (2y-1) > 6y$
Раскроем скобки:
$3y - 3 - 6 + 2y - 1 > 6y$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$5y - 10 > 6y$
Перенесем $6y$ влево, а $-10$ вправо:
$5y - 6y > 10$
$-y > 10$
Умножим обе части на -1, при этом знак неравенства меняется на противоположный:
$y < -10$
Ответ: $y \in (-\infty; -10)$.

е) Исходное неравенство: $p - \frac{p-1}{2} - \frac{p+3}{4} > 2$.
Умножим обе части на наименьший общий знаменатель 4. Знак неравенства не меняется.
$4 \cdot \left(p - \frac{p-1}{2} - \frac{p+3}{4}\right) > 4 \cdot 2$
$4p - 2(p-1) - (p+3) > 8$
Раскроем скобки (обращая внимание на знаки минус):
$4p - 2p + 2 - p - 3 > 8$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(4p - 2p - p) + (2 - 3) > 8$
$p - 1 > 8$
Перенесем -1 в правую часть:
$p > 8 + 1$
$p > 9$
Ответ: $p \in (9; +\infty)$.

954. Решите неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{2a-1}{2}-\frac{3a-3}{5}>a \mathrm{/}·10 \\ 5\left(2a-1\right)-2\left(3a-3\right)>10a \\ 10a-5-6a+6>10a \\ 4a+1>10a \\ 4a-10a>-1 \\ -6a>-1 \\ a<\frac{1}{6} \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; \frac{1}{6}\right)(-\backslash infty;\backslash frac\{1\}\{6\})$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}x-\frac{2x+3}{2}\le \frac{x-1}{4}\mathrm{/}·4 \\ 4x-2\left(2x+3\right)\le x-1 \\ 4x-4x-6\le x-1 \\ x-1\ge -6 \\ x\ge -6+1 \\ x\ge -5 \end{gathered}$$

Ответ: [-5;+∞)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{5x-1}{5}+\frac{x+1}{2}\le x\mathrm{/}·10 \\ 2\left(5x-1\right)+5\left(x+1\right)\le 10x \\ 10x-2+5x+5\le 10x \\ 15x-10x\le -3 \\ 5x\le -3 \\ x\le -\frac{3}{5} \\ x\le -0,6 \end{gathered}$$

Ответ: (-∞; -0,6]

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{y-1}{2}-\frac{2y+3}{8}-y>2\mathrm{/}·8 \\ 4\left(y-1\right)-\left(2y+3\right)-8y>16 \\ 4y-4-2y-3-8y>16 \\ -6y-7>16 \\ -6y>23 \\ y<-\frac{23}{6} \\ y<-3\frac{5}{6} \end{gathered}$$

Ответ: (-∞; $-3\frac{5}{6}$)

а) Решим неравенство $ \frac{2a - 1}{2} - \frac{3a - 3}{5} > a $.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 5, то есть на 10. Так как 10 > 0, знак неравенства не изменится.

$ 10 \cdot \frac{2a - 1}{2} - 10 \cdot \frac{3a - 3}{5} > 10 \cdot a $

$ 5(2a - 1) - 2(3a - 3) > 10a $

Раскроем скобки:

$ 10a - 5 - 6a + 6 > 10a $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ 4a + 1 > 10a $

Перенесем слагаемые с переменной $a$ в правую часть, а числовые слагаемые оставим в левой:

$ 1 > 10a - 4a $

$ 1 > 6a $

Разделим обе части на 6. Знак неравенства сохраняется.

$ \frac{1}{6} > a $, или $ a < \frac{1}{6} $.

Ответ: $ a \in (-\infty; \frac{1}{6}) $.

б) Решим неравенство $ x - \frac{2x + 3}{2} \le \frac{x - 1}{4} $.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 4. Знак неравенства при этом не изменится.

$ 4 \cdot x - 4 \cdot \frac{2x + 3}{2} \le 4 \cdot \frac{x - 1}{4} $

$ 4x - 2(2x + 3) \le x - 1 $

Раскроем скобки:

$ 4x - 4x - 6 \le x - 1 $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ -6 \le x - 1 $

Перенесем -1 в левую часть с противоположным знаком:

$ -6 + 1 \le x $

$ -5 \le x $.

Ответ: $ x \in [-5; +\infty) $.

в) Решим неравенство $ \frac{5x - 1}{5} + \frac{x + 1}{2} \le x $.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 10.

$ 10 \cdot \frac{5x - 1}{5} + 10 \cdot \frac{x + 1}{2} \le 10 \cdot x $

$ 2(5x - 1) + 5(x + 1) \le 10x $

Раскроем скобки:

$ 10x - 2 + 5x + 5 \le 10x $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ 15x + 3 \le 10x $

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$ 15x - 10x \le -3 $

$ 5x \le -3 $

Разделим обе части на 5:

$ x \le -\frac{3}{5} $.

Ответ: $ x \in (-\infty; -0.6] $.

г) Решим неравенство $ \frac{y - 1}{2} - \frac{2y + 3}{8} - y > 2 $.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 8.

$ 8 \cdot \frac{y - 1}{2} - 8 \cdot \frac{2y + 3}{8} - 8 \cdot y > 8 \cdot 2 $

$ 4(y - 1) - (2y + 3) - 8y > 16 $

Раскроем скобки:

$ 4y - 4 - 2y - 3 - 8y > 16 $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ (4y - 2y - 8y) + (-4 - 3) > 16 $

$ -6y - 7 > 16 $

Перенесем -7 в правую часть:

$ -6y > 16 + 7 $

$ -6y > 23 $

Разделим обе части на -6. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$ y < -\frac{23}{6} $.

Ответ: $ y \in (-\infty; -\frac{23}{6}) $.

955. а) При каких значениях а сумма дробей 2a - 14 и a - 13 положительна?

б) При каких значениях b разность дробей 3b - 12 и 1 + 5b4 отрицательна?

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{2a-1}{4}+\frac{a-1}{3}>0\mathrm{/}·12 \\ 3\left(2a-1\right)+4\left(a-1\right)>0 \\ 6a-3+4a-4>0 \\ 10a-7>0 \\ 10a>7 \\ a>\mathrm{0,7} \end{gathered}$$

Ответ: при $a>\mathrm{0,7}a\; >\; 0,7$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{3b-1}{2}-\frac{1+5b}{4}<0\mathrm{/}·4 \\ 2\left(3b-1\right)-\left(1+5b\right)<0 \\ 6b-2-1-5b<0 \\ b-3<0 \\ b<3 \end{gathered}$$

Ответ: при

а) Чтобы найти значения a, при которых сумма дробей положительна, необходимо составить и решить неравенство. Сумма дробей $\frac{2a-1}{4}$ и $\frac{a-1}{3}$ должна быть больше нуля:

$\frac{2a-1}{4} + \frac{a-1}{3} > 0$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 равен 12. Домножим первую дробь на 3, а вторую на 4:

$\frac{3(2a-1)}{12} + \frac{4(a-1)}{12} > 0$

Теперь сложим числители:

$\frac{3(2a-1) + 4(a-1)}{12} > 0$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{6a - 3 + 4a - 4}{12} > 0$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{10a - 7}{12} > 0$

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Так как знаменатель 12 — положительное число, числитель также должен быть положительным:

$10a - 7 > 0$

Перенесем -7 в правую часть неравенства, изменив знак:

$10a > 7$

Разделим обе части на 10:

$a > \frac{7}{10}$

Или в десятичном виде:

$a > 0.7$

Ответ: $a > 0.7$

б) Чтобы найти значения b, при которых разность дробей отрицательна, составим и решим соответствующее неравенство. Разность дробей $\frac{3b-1}{2}$ и $\frac{1+5b}{4}$ должна быть меньше нуля:

$\frac{3b-1}{2} - \frac{1+5b}{4} < 0$

Приведем дроби к общему знаменателю 4. Для этого домножим первую дробь на 2:

$\frac{2(3b-1)}{4} - \frac{1+5b}{4} < 0$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{2(3b-1) - (1+5b)}{4} < 0$

Раскроем скобки в числителе. Обратим внимание на знак минус перед второй скобкой:

$\frac{6b - 2 - 1 - 5b}{4} < 0$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{b - 3}{4} < 0$

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Так как знаменатель 4 — положительное число, числитель должен быть отрицательным:

$b - 3 < 0$

Перенесем -3 в правую часть неравенства:

$b < 3$

Ответ: $b < 3$