Номер 952, страница 213 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Решение неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 952, страница 213.

952. Решите неравенство и покажите на координатной прямой множество его решений:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{13x-1}{2}<4x /·2 \\ 13x-1<8x \\ 13x-8x<1 \\ 5x<1 \\ x<\frac{1}{5} \\ x<\mathrm{0,2} \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; \mathrm{0,2}\right)(-\backslash infty;\; 0,2)$

 

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{5-2a}{4}\ge 2a /·4 \\ 5-2a\ge 8a \\ -2a-8a\ge -5 \\ -10a\ge -5 \\ a\le \mathrm{0,5} \end{gathered}$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; \mathrm{0,5}]$

 

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{x}{4}-\frac{x}{5}\le 2 /·20 \\ 5x-4x\le 40 \\ x\le 40 \end{gathered}$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; 40]$

 

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{2y}{5}-\frac{y}{2}\ge 1 /·10 \\ 4y-5y\ge 10 \\ -y\ge 10 \\ y\le -10 \end{gathered}$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; -10]$

а) Решим неравенство $\frac{13x - 1}{2} < 4x$.

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части неравенства на знаменатель 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$(13x - 1) < 4x \cdot 2$

$13x - 1 < 8x$

Теперь перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую. При переносе слагаемых из одной части в другую их знаки меняются на противоположные:

$13x - 8x < 1$

$5x < 1$

Разделим обе части неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$x < \frac{1}{5}$

Множество решений данного неравенства — это все числа, которые меньше $\frac{1}{5}$. В виде интервала это записывается как $(-\infty; \frac{1}{5})$.

Покажем множество решений на координатной прямой. Точка $\frac{1}{5}$ изображается выколотой (пустым кружком), так как неравенство строгое (знак <):

<--//////////////////--( 1/5 )------------------> x

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{5})$.

б) Решим неравенство $\frac{5 - 2a}{4} \ge 2a$.

Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателя. Знак неравенства не меняется:

$5 - 2a \ge 2a \cdot 4$

$5 - 2a \ge 8a$

Сгруппируем слагаемые с переменной $a$ в одной части, а числа — в другой:

$5 \ge 8a + 2a$

$5 \ge 10a$

Разделим обе части на 10. Знак неравенства не меняется:

$\frac{5}{10} \ge a$

$a \le \frac{1}{2}$

Множество решений — это все числа, которые меньше или равны $\frac{1}{2}$. В виде интервала это записывается как $(-\infty; \frac{1}{2}]$.

Покажем множество решений на координатной прямой. Точка $\frac{1}{2}$ изображается закрашенной (сплошным кружком), так как неравенство нестрогое (знак $\le$):

<--//////////////////--[ 1/2 ]------------------> a

Ответ: $a \in (-\infty; \frac{1}{2}]$.

в) Решим неравенство $\frac{x}{4} - \frac{x}{5} \le 2$.

Для начала приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 5 — это 20. Умножим все неравенство на 20:

$20 \cdot (\frac{x}{4} - \frac{x}{5}) \le 20 \cdot 2$

$\frac{20x}{4} - \frac{20x}{5} \le 40$

$5x - 4x \le 40$

$x \le 40$

Множество решений — это все числа, которые меньше или равны 40. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 40]$.

Покажем множество решений на координатной прямой. Точка 40 закрашена, так как неравенство нестрогое:

<--//////////////////--[ 40 ]-------------------> x

Ответ: $x \in (-\infty; 40]$.

г) Решим неравенство $\frac{2y}{5} - \frac{y}{2} \ge 1$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 2 — это 10. Умножим все неравенство на 10:

$10 \cdot (\frac{2y}{5} - \frac{y}{2}) \ge 10 \cdot 1$

$\frac{10 \cdot 2y}{5} - \frac{10y}{2} \ge 10$

$2 \cdot 2y - 5y \ge 10$

$4y - 5y \ge 10$

$-y \ge 10$

Разделим (или умножим) обе части неравенства на -1. При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$y \le -10$

Множество решений — это все числа, которые меньше или равны -10. В виде интервала это записывается как $(-\infty; -10]$.

Покажем множество решений на координатной прямой. Точка -10 закрашена, так как неравенство нестрогое:

<--//////////////////--[-10 ]-------------------> y

Ответ: $y \in (-\infty; -10]$.