Номер 958, страница 214 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Решение неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 958, страница 214.

958. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\sqrt{2x-4} \\ 2x-4\ge 0 \\ 2x\ge 4 \\ x\ge 2 \end{gathered}$$

Ответ: при $x\ge 2x\; \backslash ge\; 2$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\sqrt{4-6a} \\ 4-6a\ge 0 \\ 6a\le 4 \\ a\le \frac{4}{6} \\ a\le \frac{2}{3} \end{gathered}$$

Ответ: при $a\le \frac{2}{3}a\; \backslash le\; \backslash frac\{2\}\{3\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\sqrt{\frac{1+3a}{25}} \\ \frac{1+3a}{25}\ge 0 /·25 \\ 1+3a\ge 0 \\ 3a\ge -1 \\ a\ge -\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Ответ: при $a\ge -\frac{1}{3}a\; \backslash ge\; -\backslash frac\{1\}\{3\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\sqrt{\frac{7-5a}{8}} \\ \frac{7-5a}{8}\ge 0 /·8 \\ 7-5a\ge 0 \\ -5a\ge -7 \\ a\le \frac{7}{5} \\ a\le \mathrm{1,4} \end{gathered}$$

Ответ: при $a\le \mathrm{1,4}a\; \backslash le\; 1,4$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\sqrt{-3\left(1-5x\right)} \\ -3\left(1-5x\right)\ge 0 \\ 1-5x\le 0 \\ -5x\le -1 \\ x\ge \frac{1}{5} \\ x\ge \mathrm{0,2} \end{gathered}$$

Ответ: при $x\ge \mathrm{0,2}x\; \backslash ge\; 0,2$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}\sqrt{-\left(6-x\right)} \\ -\left(6-x\right)\ge 0 \\ 6-x\le 0 \\ x\ge 6 \end{gathered}$$

Ответ: при $x\ge 6x\; \backslash ge\; 6$

Выражение, содержащее арифметический квадратный корень, имеет смысл (определено на множестве действительных чисел) только в том случае, когда значение подкоренного выражения (радиканда) является неотрицательным, то есть больше или равно нулю.

а) Для выражения $ \sqrt{2x-4} $ подкоренное выражение $ 2x-4 $ должно быть неотрицательным. Составим и решим неравенство: $ 2x - 4 \ge 0 $. Перенесем $-4$ в правую часть, меняя знак: $ 2x \ge 4 $. Разделим обе части на 2: $ x \ge 2 $.
Ответ: $ x \ge 2 $.

б) Для выражения $ \sqrt{4 - 6a} $ подкоренное выражение $ 4 - 6a $ должно быть неотрицательным. Составим и решим неравенство: $ 4 - 6a \ge 0 $. Перенесем $4$ в правую часть: $ -6a \ge -4 $. Разделим обе части на $-6$ и поменяем знак неравенства на противоположный: $ a \le \frac{-4}{-6} $, что равносильно $ a \le \frac{2}{3} $.
Ответ: $ a \le \frac{2}{3} $.

в) Для выражения $ \sqrt{\frac{1+3a}{25}} $ подкоренное выражение $ \frac{1+3a}{25} $ должно быть неотрицательным. Так как знаменатель $25$ — положительное число, знак дроби зависит только от знака числителя. Поэтому неравенство равносильно следующему: $ 1 + 3a \ge 0 $. Перенесем $1$ в правую часть: $ 3a \ge -1 $. Разделим обе части на 3: $ a \ge -\frac{1}{3} $.
Ответ: $ a \ge -\frac{1}{3} $.

г) Для выражения $ \sqrt{\frac{7-5a}{8}} $ подкоренное выражение $ \frac{7-5a}{8} $ должно быть неотрицательным. Знаменатель $8$ положителен, поэтому неравенство сводится к $ 7 - 5a \ge 0 $. Перенесем $7$ в правую часть: $ -5a \ge -7 $. Разделим обе части на $-5$ и поменяем знак неравенства на противоположный: $ a \le \frac{-7}{-5} $, что равносильно $ a \le \frac{7}{5} $.
Ответ: $ a \le \frac{7}{5} $.

д) Для выражения $ \sqrt{-3(1-5x)} $ подкоренное выражение $ -3(1-5x) $ должно быть неотрицательным. Составим неравенство: $ -3(1 - 5x) \ge 0 $. Разделим обе части на $-3$ и сменим знак неравенства: $ 1 - 5x \le 0 $. Перенесем $1$ в правую часть: $ -5x \le -1 $. Разделим обе части на $-5$ и снова поменяем знак неравенства: $ x \ge \frac{-1}{-5} $, то есть $ x \ge \frac{1}{5} $.
Ответ: $ x \ge \frac{1}{5} $.

е) Для выражения $ \sqrt{-(6-x)} $ подкоренное выражение $ -(6-x) $ должно быть неотрицательным. Решим неравенство: $ -(6-x) \ge 0 $. Раскрыв скобки, получим $ -6 + x \ge 0 $. Перенесем $-6$ в правую часть, меняя знак: $ x \ge 6 $.
Ответ: $ x \ge 6 $.