Номер 954, страница 213 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Решение неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 954, страница 213.

954. Решите неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{2a-1}{2}-\frac{3a-3}{5}>a \mathrm{/}·10 \\ 5\left(2a-1\right)-2\left(3a-3\right)>10a \\ 10a-5-6a+6>10a \\ 4a+1>10a \\ 4a-10a>-1 \\ -6a>-1 \\ a<\frac{1}{6} \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; \frac{1}{6}\right)(-\backslash infty;\backslash frac\{1\}\{6\})$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}x-\frac{2x+3}{2}\le \frac{x-1}{4}\mathrm{/}·4 \\ 4x-2\left(2x+3\right)\le x-1 \\ 4x-4x-6\le x-1 \\ x-1\ge -6 \\ x\ge -6+1 \\ x\ge -5 \end{gathered}$$

Ответ: [-5;+∞)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{5x-1}{5}+\frac{x+1}{2}\le x\mathrm{/}·10 \\ 2\left(5x-1\right)+5\left(x+1\right)\le 10x \\ 10x-2+5x+5\le 10x \\ 15x-10x\le -3 \\ 5x\le -3 \\ x\le -\frac{3}{5} \\ x\le -0,6 \end{gathered}$$

Ответ: (-∞; -0,6]

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{y-1}{2}-\frac{2y+3}{8}-y>2\mathrm{/}·8 \\ 4\left(y-1\right)-\left(2y+3\right)-8y>16 \\ 4y-4-2y-3-8y>16 \\ -6y-7>16 \\ -6y>23 \\ y<-\frac{23}{6} \\ y<-3\frac{5}{6} \end{gathered}$$

Ответ: (-∞; $-3\frac{5}{6}$)

а) Решим неравенство $ \frac{2a - 1}{2} - \frac{3a - 3}{5} > a $.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 5, то есть на 10. Так как 10 > 0, знак неравенства не изменится.

$ 10 \cdot \frac{2a - 1}{2} - 10 \cdot \frac{3a - 3}{5} > 10 \cdot a $

$ 5(2a - 1) - 2(3a - 3) > 10a $

Раскроем скобки:

$ 10a - 5 - 6a + 6 > 10a $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ 4a + 1 > 10a $

Перенесем слагаемые с переменной $a$ в правую часть, а числовые слагаемые оставим в левой:

$ 1 > 10a - 4a $

$ 1 > 6a $

Разделим обе части на 6. Знак неравенства сохраняется.

$ \frac{1}{6} > a $, или $ a < \frac{1}{6} $.

Ответ: $ a \in (-\infty; \frac{1}{6}) $.

б) Решим неравенство $ x - \frac{2x + 3}{2} \le \frac{x - 1}{4} $.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 4. Знак неравенства при этом не изменится.

$ 4 \cdot x - 4 \cdot \frac{2x + 3}{2} \le 4 \cdot \frac{x - 1}{4} $

$ 4x - 2(2x + 3) \le x - 1 $

Раскроем скобки:

$ 4x - 4x - 6 \le x - 1 $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ -6 \le x - 1 $

Перенесем -1 в левую часть с противоположным знаком:

$ -6 + 1 \le x $

$ -5 \le x $.

Ответ: $ x \in [-5; +\infty) $.

в) Решим неравенство $ \frac{5x - 1}{5} + \frac{x + 1}{2} \le x $.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 10.

$ 10 \cdot \frac{5x - 1}{5} + 10 \cdot \frac{x + 1}{2} \le 10 \cdot x $

$ 2(5x - 1) + 5(x + 1) \le 10x $

Раскроем скобки:

$ 10x - 2 + 5x + 5 \le 10x $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ 15x + 3 \le 10x $

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$ 15x - 10x \le -3 $

$ 5x \le -3 $

Разделим обе части на 5:

$ x \le -\frac{3}{5} $.

Ответ: $ x \in (-\infty; -0.6] $.

г) Решим неравенство $ \frac{y - 1}{2} - \frac{2y + 3}{8} - y > 2 $.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 8.

$ 8 \cdot \frac{y - 1}{2} - 8 \cdot \frac{2y + 3}{8} - 8 \cdot y > 8 \cdot 2 $

$ 4(y - 1) - (2y + 3) - 8y > 16 $

Раскроем скобки:

$ 4y - 4 - 2y - 3 - 8y > 16 $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ (4y - 2y - 8y) + (-4 - 3) > 16 $

$ -6y - 7 > 16 $

Перенесем -7 в правую часть:

$ -6y > 16 + 7 $

$ -6y > 23 $

Разделим обе части на -6. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$ y < -\frac{23}{6} $.

Ответ: $ y \in (-\infty; -\frac{23}{6}) $.