Номер 961, страница 214 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Решение неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 961, страница 214.

961. При каких натуральных значениях n:

а) разность (2 – 2n) – (5n – 27) положительна;

б) сумма (–27,1 + 3n) + (7,1 + 5n) отрицательна?

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\left(2-2n\right)-\left(5n-27\right)>0 \\ 2-2n-5n+27>0 \\ 29-7n>0 \\ 7n<29 \\ n<\frac{29}{7} \\ n<4\frac{1}{7} \end{gathered}$$

Ответ: при n=1, 2, 3, 4

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\left(-27,1+3n\right)+\left(7,1+5n\right)<0 \\ -27,1+3n+7,1+5n<0 \\ 8n-20<0 \\ 8n<20 \\ n<\frac{20}{8} \\ n<2,5 \end{gathered}$$

Ответ: при n=1; 2

а) Условие, что разность $(2 - 2n) - (5n - 27)$ положительна, означает, что она больше нуля. Запишем и решим соответствующее неравенство:

$(2 - 2n) - (5n - 27) > 0$

Сначала раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки слагаемых в ней меняются на противоположные:

$2 - 2n - 5n + 27 > 0$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$(2 + 27) + (-2n - 5n) > 0$

$29 - 7n > 0$

Перенесем слагаемое без переменной в правую часть неравенства:

$-7n > -29$

Чтобы найти $n$, разделим обе части неравенства на -7. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$n < \frac{-29}{-7}$

$n < \frac{29}{7}$

Для удобства представим неправильную дробь в виде смешанного числа:

$n < 4\frac{1}{7}$

В задаче требуется найти натуральные значения $n$. Натуральными числами, удовлетворяющими условию $n < 4\frac{1}{7}$, являются 1, 2, 3 и 4.

Ответ: 1, 2, 3, 4.

б) Условие, что сумма $(-27,1 + 3n) + (7,1 + 5n)$ отрицательна, означает, что она меньше нуля. Запишем и решим это неравенство:

$(-27,1 + 3n) + (7,1 + 5n) < 0$

Раскроем скобки:

$-27,1 + 3n + 7,1 + 5n < 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(-27,1 + 7,1) + (3n + 5n) < 0$

$-20 + 8n < 0$

Перенесем слагаемое без переменной в правую часть неравенства:

$8n < 20$

Разделим обе части неравенства на 8:

$n < \frac{20}{8}$

Сократим дробь и представим ее в виде десятичной:

$n < \frac{5}{2}$

$n < 2,5$

Так как $n$ должно быть натуральным числом, нам подходят натуральные числа, которые меньше 2,5. Такими числами являются 1 и 2.

Ответ: 1, 2.