Номер 968, страница 215 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Решение неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 968, страница 215.

968. Туристы отправились на моторной лодке по течению реки и должны вернуться обратно к стоянке не позднее чем через 3 ч. На какое расстояние могут отъехать туристы, если скорость течения реки 2 км/ч, а скорость лодки в стоячей воде 18 км/ч?

Пусть туристы могут отъехать на x км, тогда время, которое они потратят на путь по течению реки равно $\frac{x}{18+2}\text{ч}$, а на путь против течения реки равно $\frac{x}{18-2}\text{ч}$. Зная, что обратно к стоянию они должны вернуться не позднее, чем через 3ч, составим и решим неравенство

$$\begin{gathered} \frac{x}{18+2}+\frac{x}{18-2}\le 3 \\ \frac{x}{20}+\frac{x}{16}\le 3\mathrm{/}·80 \\ 4x+5x\le 240 \\ 9x\le 240 \\ x\le \frac{240}{9} \\ x\le \frac{80}{3} \\ x\le 26\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Ответ: не более, чем на $26\frac{2}{3}26\backslash frac\{2\}\{3\}$км

Пусть $S$ (в км) – это максимальное расстояние, на которое туристы могут отъехать от стоянки.

Сначала определим скорость лодки по течению реки и против течения.
Собственная скорость лодки $v_{л} = 18$ км/ч.
Скорость течения реки $v_{т} = 2$ км/ч.

Скорость лодки по течению реки равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения:
$v_{по~теч.} = v_{л} + v_{т} = 18 + 2 = 20$ км/ч.

Скорость лодки против течения реки равна разности собственной скорости лодки и скорости течения:
$v_{против~теч.} = v_{л} - v_{т} = 18 - 2 = 16$ км/ч.

Время, затраченное на путь по течению, равно $t_{по~теч.} = \frac{S}{v_{по~теч.}} = \frac{S}{20}$ ч.
Время, затраченное на обратный путь против течения, равно $t_{против~теч.} = \frac{S}{v_{против~теч.}} = \frac{S}{16}$ ч.

Общее время путешествия не должно превышать 3 часа. Составим неравенство, исходя из этого условия:
$t_{по~теч.} + t_{против~теч.} \le 3$
$\frac{S}{20} + \frac{S}{16} \le 3$

Решим это неравенство относительно $S$. Для этого вынесем $S$ за скобки и приведем дроби к общему знаменателю (наименьшее общее кратное для 20 и 16 равно 80):
$S \cdot (\frac{1}{20} + \frac{1}{16}) \le 3$
$S \cdot (\frac{1 \cdot 4}{80} + \frac{1 \cdot 5}{80}) \le 3$
$S \cdot (\frac{4+5}{80}) \le 3$
$S \cdot \frac{9}{80} \le 3$

Теперь найдем максимальное значение $S$:
$S \le 3 \div \frac{9}{80}$
$S \le 3 \cdot \frac{80}{9}$
$S \le \frac{240}{9}$
$S \le \frac{80}{3}$
$S \le 26\frac{2}{3}$

Таким образом, туристы могут отъехать на расстояние, не превышающее $26\frac{2}{3}$ км.

Ответ: Туристы могут отъехать на расстояние не более $26\frac{2}{3}$ км.