Номер 975, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

40. Решение систем неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 975, страница 219.

975. Решите систему неравенств:

a) $\left\{\begin{array}{c}rowspacing="0,36em"\; columnalign="left\; left"\; columnspacing="1em">x>17\\ x>12\end{array}\right.$

Ответ: (17; +∞)

б) $\left\{\begin{array}{c}rowspacing="0,36em"\; columnalign="left\; left"\; columnspacing="1em">x<1\\ x<5\end{array}\right.$

Ответ: (-∞; 1)

в) $\left\{\begin{array}{c}rowspacing="0,36em"\; columnalign="left\; left"\; columnspacing="1em">x>0\\ x<6\end{array}\right.$

Ответ: (0; 6)

г) $\left\{\begin{array}{l}x<-\mathrm{3,5}\\ x>8\end{array}\right.$

Ответ: решений нет

д) $\left\{\begin{array}{l}x\ge -1\\ x\le 3\end{array}\right.$

Ответ: [-1; 3]

е) $\left\{\begin{array}{l}x>8\\ x\le 20\end{array}\right.$

Ответ: (8; 20]

Решение системы неравенств заключается в нахождении множества значений переменной, которые удовлетворяют каждому неравенству в системе. Это множество является пересечением множеств решений каждого из неравенств.

а)

Дана система: $\begin{cases} x > 17, \\ x > 12; \end{cases}$
Первое неравенство $x > 17$ означает, что $x$ принадлежит интервалу $(17, +\infty)$.
Второе неравенство $x > 12$ означает, что $x$ принадлежит интервалу $(12, +\infty)$.
Решением системы будет пересечение этих двух интервалов. Чтобы число удовлетворяло обоим условиям, оно должно быть больше и 17, и 12. Более строгим является условие $x > 17$, так как если число больше 17, оно автоматически больше 12. Таким образом, решением системы является интервал, где $x$ строго больше 17.

Ответ: $(17, +\infty)$.

б)

Дана система: $\begin{cases} x < 1, \\ x < 5; \end{cases}$
Первое неравенство $x < 1$ означает, что $x$ принадлежит интервалу $(-\infty, 1)$.
Второе неравенство $x < 5$ означает, что $x$ принадлежит интервалу $(-\infty, 5)$.
Решением системы является пересечение этих интервалов. Чтобы число удовлетворяло обоим условиям, оно должно быть меньше и 1, и 5. Более строгим является условие $x < 1$, так как если число меньше 1, оно автоматически меньше 5. Следовательно, решением является интервал, где $x$ строго меньше 1.

Ответ: $(-\infty, 1)$.

в)

Дана система: $\begin{cases} x > 0, \\ x < 6; \end{cases}$
Первое неравенство $x > 0$ задает интервал $(0, +\infty)$.
Второе неравенство $x < 6$ задает интервал $(-\infty, 6)$.
Решением системы является пересечение этих двух интервалов. Нам нужны числа, которые одновременно больше 0 и меньше 6. Это можно записать в виде двойного неравенства: $0 < x < 6$.

Ответ: $(0, 6)$.

г)

Дана система: $\begin{cases} x < -3,5, \\ x > 8; \end{cases}$
Первое неравенство $x < -3,5$ задает интервал $(-\infty, -3,5)$.
Второе неравенство $x > 8$ задает интервал $(8, +\infty)$.
Необходимо найти числа, которые одновременно меньше -3,5 и больше 8. Таких чисел не существует, поскольку эти два интервала не имеют общих точек. Пересечение этих множеств пусто.

Ответ: $\emptyset$ (нет решений).

д)

Дана система: $\begin{cases} x \ge -1, \\ x \le 3; \end{cases}$
Первое неравенство $x \ge -1$ задает числовой луч $[-1, +\infty)$.
Второе неравенство $x \le 3$ задает числовой луч $(-\infty, 3]$.
Решением системы является пересечение этих множеств. Это все числа, которые больше или равны -1 и одновременно меньше или равны 3. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-1 \le x \le 3$.

Ответ: $[-1, 3]$.

е)

Дана система: $\begin{cases} x > 8, \\ x \le 20. \end{cases}$
Первое неравенство $x > 8$ задает интервал $(8, +\infty)$.
Второе неравенство $x \le 20$ задает числовой луч $(-\infty, 20]$.
Решением системы является пересечение этих множеств. Это все числа, которые строго больше 8 и одновременно меньше или равны 20. Это можно записать в виде двойного неравенства: $8 < x \le 20$.

Ответ: $(8, 20]$.