Номер 969, страница 215 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Решение неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 969, страница 215.

969. Найдите значение дроби x² + x - 5x - 1 при x = 1 – 3.

$\frac{x^2+x-5}{x-1}$ при $\text{х}=1-\sqrt{3}$

$$\begin{gathered} \frac{{\left(1-\sqrt{3}\right)}^2+\left(1-\sqrt{3}\right)-5}{\left(1-\sqrt{3}\right)-1}= \\ =\frac{1-2\sqrt{3}+3+1-\sqrt{3}-5}{1-\sqrt{3}-1}=\frac{-3\sqrt{3}}{-\sqrt{3}}=3 \end{gathered}$$

Для того чтобы найти значение дроби $\frac{x^2+x-5}{x-1}$ при $x = 1-\sqrt{3}$, подставим это значение $x$ в выражение.

Сначала вычислим значение знаменателя:

$x-1 = (1-\sqrt{3}) - 1 = 1 - \sqrt{3} - 1 = -\sqrt{3}$

Теперь вычислим значение числителя $x^2+x-5$:

$x^2+x-5 = (1-\sqrt{3})^2 + (1-\sqrt{3}) - 5$

Раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(1-\sqrt{3})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 1 - 2\sqrt{3} + 3 = 4 - 2\sqrt{3}$

Теперь подставим полученное значение обратно в выражение для числителя:

$(4 - 2\sqrt{3}) + (1-\sqrt{3}) - 5 = 4 - 2\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} - 5$

Сгруппируем и сложим целые числа и иррациональные части:

$(4 + 1 - 5) + (-2\sqrt{3} - \sqrt{3}) = 0 - 3\sqrt{3} = -3\sqrt{3}$

Теперь, когда у нас есть значения числителя и знаменателя, мы можем найти значение всей дроби:

$\frac{x^2+x-5}{x-1} = \frac{-3\sqrt{3}}{-\sqrt{3}}$

Сокращаем $-\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{-3\sqrt{3}}{-\sqrt{3}} = 3$

Альтернативный способ (упрощение выражения):

Можно сначала упростить алгебраическую дробь, выделив целую часть. Для этого разделим многочлен $x^2+x-5$ на $x-1$ "уголком" или преобразуем числитель:

$x^2+x-5 = x^2 - x + 2x - 5 = x(x-1) + 2x - 2 - 3 = x(x-1) + 2(x-1) - 3 = (x-1)(x+2) - 3$

Тогда дробь примет вид:

$\frac{(x-1)(x+2) - 3}{x-1} = \frac{(x-1)(x+2)}{x-1} - \frac{3}{x-1} = x+2 - \frac{3}{x-1}$

Теперь подставим $x = 1-\sqrt{3}$ в упрощенное выражение:

$(1-\sqrt{3}) + 2 - \frac{3}{(1-\sqrt{3})-1} = 3-\sqrt{3} - \frac{3}{-\sqrt{3}} = 3-\sqrt{3} + \frac{3}{\sqrt{3}}$

Упростим дробь $\frac{3}{\sqrt{3}}$, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

Подставим обратно и получим результат:

$3-\sqrt{3} + \sqrt{3} = 3$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 3