Номер 972, страница 215 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Решение неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 972, страница 215.

972. Моторная лодка прошла 30 км по течению реки и возвратилась обратно, затратив на весь путь 5 ч 20 мин. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

Пусть x км/ч - скорость лодки в стоячей воде, тогда (x+3)км/ч - скорость лодки по течению, (x-3)км/ч - скорость лодки против течения. Зная, что на весь путь лодка затратила 5ч20мин, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{30}{x+3}+\frac{30}{x-3}=5\frac{20}{60} \\ \frac{30\left(x-3\right)+30\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}=5\frac{1}{3} \\ \frac{30x-90+30x+90}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{16}{3} \mathrm{/}·3\left(x-3\right)\left(x+3\right) \\ 3·60x=16\left(x-3\right)\left(x+3\right) \\ 16\left(x^2-9\right)=180x \\ 16x^2-144=180x \\ 16x^2-180x-144=0\mathrm{/}:4 \\ 4x^2-45x-36=0 \\ D={\left(-45\right)}^2-4·4·\left(-36\right)=2025+576=2601 \\ x=\frac{45\pm \sqrt{2601}}{8}; x=\frac{45\pm 51}{8} \end{gathered}$$

$x_1=12; x_2=-\frac{6}{8}$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 12 км/ч

Пусть $x$ км/ч — скорость моторной лодки в стоячей воде. Согласно условию, скорость течения реки равна 3 км/ч.

Тогда скорость лодки при движении по течению реки составляет $(x + 3)$ км/ч, а скорость лодки при движении против течения — $(x - 3)$ км/ч. Важно, что для движения против течения собственная скорость лодки должна быть больше скорости течения, то есть $x > 3$.

Лодка прошла 30 км по течению, затратив на это время $t_1 = \frac{30}{x+3}$ часов.

На обратный путь, то есть 30 км против течения, лодка затратила время $t_2 = \frac{30}{x-3}$ часов.

Общее время, затраченное на весь путь, составляет 5 часов 20 минут. Прежде всего, переведем это время в часы:

$5$ ч $20$ мин $= 5 + \frac{20}{60}$ ч $= 5 + \frac{1}{3}$ ч $= \frac{15}{3} + \frac{1}{3} = \frac{16}{3}$ ч.

Теперь составим уравнение, зная, что общее время в пути — это сумма времени движения по течению и против течения:

$t_1 + t_2 = \frac{16}{3}$

$\frac{30}{x+3} + \frac{30}{x-3} = \frac{16}{3}$

Для решения уравнения приведем левую часть к общему знаменателю $(x+3)(x-3) = x^2 - 9$:

$\frac{30(x-3) + 30(x+3)}{x^2-9} = \frac{16}{3}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{30x - 90 + 30x + 90}{x^2-9} = \frac{16}{3}$

$\frac{60x}{x^2-9} = \frac{16}{3}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$60x \cdot 3 = 16 \cdot (x^2-9)$

$180x = 16x^2 - 144$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$16x^2 - 180x - 144 = 0$

Для упрощения расчетов разделим обе части уравнения на их наибольший общий делитель, равный 4:

$4x^2 - 45x - 36 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-45)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-36) = 2025 + 576 = 2601$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{2601} = 51$

$x_1 = \frac{-(-45) + 51}{2 \cdot 4} = \frac{45 + 51}{8} = \frac{96}{8} = 12$

$x_2 = \frac{-(-45) - 51}{2 \cdot 4} = \frac{45 - 51}{8} = \frac{-6}{8} = -0.75$

Поскольку скорость лодки не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -0.75$ не соответствует условию задачи. Корень $x_1 = 12$ удовлетворяет физическому смыслу и условию $x > 3$.

Таким образом, скорость моторной лодки в стоячей воде равна 12 км/ч.

Выполним проверку: Время по течению: $\frac{30}{12+3} = \frac{30}{15} = 2$ часа. Время против течения: $\frac{30}{12-3} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3}$ часа, что равно 3 часам 20 минутам. Общее время: $2$ ч + $3$ ч $20$ мин = $5$ ч $20$ мин. Результат совпадает с условием, следовательно, задача решена верно.

Ответ: 12 км/ч.