Номер 970, страница 215 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Решение неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 970, страница 215.

970. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}\frac{x^2-4}{6}-\frac{x}{2}=\frac{x-4}{3} /·6 \\ {x}^2-4-3x=2\left(x-4\right) \\ {x}^2-4-3x=2x-8 \\ {x}^2-3x-2x-4+8=0 \\ {x}^2-5x+4=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·1·4=25-16=9 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{9}}{2}; x=\frac{5\pm 3}{2} \\ {x}_1=4; x_2=1 \end{gathered}$$

Ответ: 1; 4

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{2x^2-1}{2}-x+\frac{1}{2}=0 /·2 \\ 2x^2-1-2x+1=0 \\ 2x^2-2x=0 \\ 2x\left(x-1\right)=0 \\ x=0\text{ или }x-1=0; x=1 \end{gathered}$$

Ответ: 0; 1

а)

Исходное уравнение: $\frac{x^2-4}{6} - \frac{x}{2} = \frac{x-4}{3}$.

Чтобы избавиться от дробей, приведем все члены уравнения к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 6, 2 и 3 равно 6. Умножим обе части уравнения на 6:

$6 \cdot \frac{x^2-4}{6} - 6 \cdot \frac{x}{2} = 6 \cdot \frac{x-4}{3}$

После сокращения получаем:

$(x^2-4) - 3x = 2(x-4)$

Раскроем скобки:

$x^2 - 4 - 3x = 2x - 8$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - 3x - 2x - 4 + 8 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$a=1, b=-5, c=4$

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня, которые находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: 1; 4.

б)

Исходное уравнение: $\frac{2x^2-1}{2} - x + \frac{1}{2} = 0$.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 2:

$2 \cdot \left(\frac{2x^2-1}{2} - x + \frac{1}{2}\right) = 2 \cdot 0$

$(2x^2-1) - 2x + 1 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 1 - 2x + 1 = 0$

$2x^2 - 2x = 0$

Мы получили неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:

$2x = 0$ или $x - 1 = 0$

Из первого уравнения находим $x_1 = 0$.

Из второго уравнения находим $x_2 = 1$.

Ответ: 0; 1.