Страница 215 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

966. Одна из переплётных мастерских берёт по 480 р. за книгу и ещё 630 р. за оформление заказа, а другая — по 485 р. за книгу и 580 р. за оформление заказа. Укажите наименьшее число книг, при котором заказ выгоднее сделать в первой мастерской.

Пусть х книг возьмут на заказ первая и вторая мастерская. Зная, что по условию задачи заказ выгоднее сделать в первой мастерской, составим и решим неравенство.

480x+630<485x+580

5x-50>0

5x>50

x>10

Ответ: 11 книг

Для решения этой задачи нам нужно сравнить стоимость заказа в двух мастерских в зависимости от количества книг. Пусть $x$ — это количество книг, которые нужно переплести.

Сначала определим, как рассчитывается общая стоимость заказа в каждой мастерской.

1. Первая мастерская:
Стоимость переплета одной книги — 480 рублей.
Фиксированная плата за оформление заказа — 630 рублей.
Общая стоимость заказа в первой мастерской, назовем ее $C_1$, будет равна сумме стоимости переплета всех книг и платы за оформление:
$C_1(x) = 480x + 630$

2. Вторая мастерская:
Стоимость переплета одной книги — 485 рублей.
Фиксированная плата за оформление заказа — 580 рублей.
Общая стоимость заказа во второй мастерской, назовем ее $C_2$, рассчитывается аналогично:
$C_2(x) = 485x + 580$

Нам необходимо найти наименьшее количество книг $x$, при котором заказ в первой мастерской будет выгоднее, то есть стоимость $C_1$ будет меньше стоимости $C_2$. Составим и решим неравенство:
$C_1(x) < C_2(x)$
$480x + 630 < 485x + 580$

Для решения неравенства перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую. Удобнее перенести $x$ в правую часть, чтобы коэффициент при нем был положительным.
$630 - 580 < 485x - 480x$

Выполним вычисления:
$50 < 5x$

Разделим обе части неравенства на 5:
$10 < x$

Итак, мы получили, что заказ в первой мастерской выгоднее, если количество книг $x$ строго больше 10. Поскольку количество книг может быть только целым числом, наименьшее целое число, которое больше 10, — это 11.

Ответ: 11.

967. За денежный почтовый перевод до 1000 р. в некотором городе берётся плата 7 р. плюс 5% от переводимой суммы. Посетитель имеет 800 р. Укажите наибольшее целое число рублей, которое он может перевести.

Пусть х р. - наибольшее целое число рублей, которое может перевести посетитель. Зная, что он имеет 800р., составим и решим неравенство

Ответ: 755 рублей

Пусть $S$ — это сумма, которую посетитель хочет перевести, в рублях. Согласно условию задачи, эта сумма не должна превышать 1000 рублей.

Комиссия за перевод состоит из двух частей:
1. Фиксированная плата в размере 7 рублей.
2. Процент от переводимой суммы, который составляет 5%, то есть $0.05 \cdot S$.

Таким образом, общая сумма комиссии за перевод составит $7 + 0.05 \cdot S$ рублей.

Полная сумма, которую необходимо заплатить посетителю, складывается из самой суммы перевода $S$ и комиссии за перевод.
Общие расходы = Сумма перевода + Комиссия = $S + (7 + 0.05 \cdot S)$.

Упростим выражение для общих расходов:
$S + 7 + 0.05 \cdot S = 1.05 \cdot S + 7$.

Посетитель имеет 800 рублей, значит, общие расходы не могут превышать эту сумму. Составим и решим неравенство:
$1.05 \cdot S + 7 \le 800$

Вычтем 7 из обеих частей неравенства:
$1.05 \cdot S \le 800 - 7$
$1.05 \cdot S \le 793$

Теперь разделим обе части неравенства на 1.05, чтобы найти максимально возможное значение $S$:
$S \le \frac{793}{1.05}$
$S \le 755.238...$

В задаче требуется указать наибольшее целое число рублей, которое можно перевести. Наибольшее целое число, не превышающее 755.238..., это 755.

Проверим, достаточно ли 800 рублей для перевода 755 рублей:
Сумма перевода: 755 р.
Комиссия: $7 + 0.05 \cdot 755 = 7 + 37.75 = 44.75$ р.
Общие расходы: $755 + 44.75 = 799.75$ р.
Так как $799.75 \le 800$, перевод возможен.

Проверим для следующего целого числа, 756 рублей:
Сумма перевода: 756 р.
Комиссия: $7 + 0.05 \cdot 756 = 7 + 37.8 = 44.8$ р.
Общие расходы: $756 + 44.8 = 800.8$ р.
Так как $800.8 > 800$, такой перевод уже невозможен.

Следовательно, наибольшая целая сумма, которую можно перевести, составляет 755 рублей. Это значение также удовлетворяет исходному ограничению на сумму перевода (до 1000 р.).

Ответ: 755

968. Туристы отправились на моторной лодке по течению реки и должны вернуться обратно к стоянке не позднее чем через 3 ч. На какое расстояние могут отъехать туристы, если скорость течения реки 2 км/ч, а скорость лодки в стоячей воде 18 км/ч?

Пусть туристы могут отъехать на x км, тогда время, которое они потратят на путь по течению реки равно $\frac{x}{18+2}\text{ч}$, а на путь против течения реки равно $\frac{x}{18-2}\text{ч}$. Зная, что обратно к стоянию они должны вернуться не позднее, чем через 3ч, составим и решим неравенство

$$\begin{gathered} \frac{x}{18+2}+\frac{x}{18-2}\le 3 \\ \frac{x}{20}+\frac{x}{16}\le 3\mathrm{/}·80 \\ 4x+5x\le 240 \\ 9x\le 240 \\ x\le \frac{240}{9} \\ x\le \frac{80}{3} \\ x\le 26\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Ответ: не более, чем на $26\frac{2}{3}26\backslash frac\{2\}\{3\}$км

Пусть $S$ (в км) – это максимальное расстояние, на которое туристы могут отъехать от стоянки.

Сначала определим скорость лодки по течению реки и против течения.
Собственная скорость лодки $v_{л} = 18$ км/ч.
Скорость течения реки $v_{т} = 2$ км/ч.

Скорость лодки по течению реки равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения:
$v_{по~теч.} = v_{л} + v_{т} = 18 + 2 = 20$ км/ч.

Скорость лодки против течения реки равна разности собственной скорости лодки и скорости течения:
$v_{против~теч.} = v_{л} - v_{т} = 18 - 2 = 16$ км/ч.

Время, затраченное на путь по течению, равно $t_{по~теч.} = \frac{S}{v_{по~теч.}} = \frac{S}{20}$ ч.
Время, затраченное на обратный путь против течения, равно $t_{против~теч.} = \frac{S}{v_{против~теч.}} = \frac{S}{16}$ ч.

Общее время путешествия не должно превышать 3 часа. Составим неравенство, исходя из этого условия:
$t_{по~теч.} + t_{против~теч.} \le 3$
$\frac{S}{20} + \frac{S}{16} \le 3$

Решим это неравенство относительно $S$. Для этого вынесем $S$ за скобки и приведем дроби к общему знаменателю (наименьшее общее кратное для 20 и 16 равно 80):
$S \cdot (\frac{1}{20} + \frac{1}{16}) \le 3$
$S \cdot (\frac{1 \cdot 4}{80} + \frac{1 \cdot 5}{80}) \le 3$
$S \cdot (\frac{4+5}{80}) \le 3$
$S \cdot \frac{9}{80} \le 3$

Теперь найдем максимальное значение $S$:
$S \le 3 \div \frac{9}{80}$
$S \le 3 \cdot \frac{80}{9}$
$S \le \frac{240}{9}$
$S \le \frac{80}{3}$
$S \le 26\frac{2}{3}$

Таким образом, туристы могут отъехать на расстояние, не превышающее $26\frac{2}{3}$ км.

Ответ: Туристы могут отъехать на расстояние не более $26\frac{2}{3}$ км.

969. Найдите значение дроби x² + x - 5x - 1 при x = 1 – 3.

$\frac{x^2+x-5}{x-1}$ при $\text{х}=1-\sqrt{3}$

$$\begin{gathered} \frac{{\left(1-\sqrt{3}\right)}^2+\left(1-\sqrt{3}\right)-5}{\left(1-\sqrt{3}\right)-1}= \\ =\frac{1-2\sqrt{3}+3+1-\sqrt{3}-5}{1-\sqrt{3}-1}=\frac{-3\sqrt{3}}{-\sqrt{3}}=3 \end{gathered}$$

Для того чтобы найти значение дроби $\frac{x^2+x-5}{x-1}$ при $x = 1-\sqrt{3}$, подставим это значение $x$ в выражение.

Сначала вычислим значение знаменателя:

$x-1 = (1-\sqrt{3}) - 1 = 1 - \sqrt{3} - 1 = -\sqrt{3}$

Теперь вычислим значение числителя $x^2+x-5$:

$x^2+x-5 = (1-\sqrt{3})^2 + (1-\sqrt{3}) - 5$

Раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(1-\sqrt{3})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 1 - 2\sqrt{3} + 3 = 4 - 2\sqrt{3}$

Теперь подставим полученное значение обратно в выражение для числителя:

$(4 - 2\sqrt{3}) + (1-\sqrt{3}) - 5 = 4 - 2\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} - 5$

Сгруппируем и сложим целые числа и иррациональные части:

$(4 + 1 - 5) + (-2\sqrt{3} - \sqrt{3}) = 0 - 3\sqrt{3} = -3\sqrt{3}$

Теперь, когда у нас есть значения числителя и знаменателя, мы можем найти значение всей дроби:

$\frac{x^2+x-5}{x-1} = \frac{-3\sqrt{3}}{-\sqrt{3}}$

Сокращаем $-\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{-3\sqrt{3}}{-\sqrt{3}} = 3$

Альтернативный способ (упрощение выражения):

Можно сначала упростить алгебраическую дробь, выделив целую часть. Для этого разделим многочлен $x^2+x-5$ на $x-1$ "уголком" или преобразуем числитель:

$x^2+x-5 = x^2 - x + 2x - 5 = x(x-1) + 2x - 2 - 3 = x(x-1) + 2(x-1) - 3 = (x-1)(x+2) - 3$

Тогда дробь примет вид:

$\frac{(x-1)(x+2) - 3}{x-1} = \frac{(x-1)(x+2)}{x-1} - \frac{3}{x-1} = x+2 - \frac{3}{x-1}$

Теперь подставим $x = 1-\sqrt{3}$ в упрощенное выражение:

$(1-\sqrt{3}) + 2 - \frac{3}{(1-\sqrt{3})-1} = 3-\sqrt{3} - \frac{3}{-\sqrt{3}} = 3-\sqrt{3} + \frac{3}{\sqrt{3}}$

Упростим дробь $\frac{3}{\sqrt{3}}$, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

Подставим обратно и получим результат:

$3-\sqrt{3} + \sqrt{3} = 3$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 3

970. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}\frac{x^2-4}{6}-\frac{x}{2}=\frac{x-4}{3} /·6 \\ {x}^2-4-3x=2\left(x-4\right) \\ {x}^2-4-3x=2x-8 \\ {x}^2-3x-2x-4+8=0 \\ {x}^2-5x+4=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·1·4=25-16=9 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{9}}{2}; x=\frac{5\pm 3}{2} \\ {x}_1=4; x_2=1 \end{gathered}$$

Ответ: 1; 4

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{2x^2-1}{2}-x+\frac{1}{2}=0 /·2 \\ 2x^2-1-2x+1=0 \\ 2x^2-2x=0 \\ 2x\left(x-1\right)=0 \\ x=0\text{ или }x-1=0; x=1 \end{gathered}$$

Ответ: 0; 1

а)

Исходное уравнение: $\frac{x^2-4}{6} - \frac{x}{2} = \frac{x-4}{3}$.

Чтобы избавиться от дробей, приведем все члены уравнения к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 6, 2 и 3 равно 6. Умножим обе части уравнения на 6:

$6 \cdot \frac{x^2-4}{6} - 6 \cdot \frac{x}{2} = 6 \cdot \frac{x-4}{3}$

После сокращения получаем:

$(x^2-4) - 3x = 2(x-4)$

Раскроем скобки:

$x^2 - 4 - 3x = 2x - 8$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - 3x - 2x - 4 + 8 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$a=1, b=-5, c=4$

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня, которые находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: 1; 4.

б)

Исходное уравнение: $\frac{2x^2-1}{2} - x + \frac{1}{2} = 0$.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 2:

$2 \cdot \left(\frac{2x^2-1}{2} - x + \frac{1}{2}\right) = 2 \cdot 0$

$(2x^2-1) - 2x + 1 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 1 - 2x + 1 = 0$

$2x^2 - 2x = 0$

Мы получили неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:

$2x = 0$ или $x - 1 = 0$

Из первого уравнения находим $x_1 = 0$.

Из второго уравнения находим $x_2 = 1$.

Ответ: 0; 1.

971. Решите графически уравнение 12x= x².

$$\begin{gathered} \frac{12}{x}=x^2 \\ y=\frac{12}{x} \end{gathered}$$

 $y=x^2$

x≈2,3

Ответ: ≈2,3

Для графического решения уравнения $\frac{12}{x} = x^2$ необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = \frac{12}{x}$ и $y = x^2$. Абсцисса точки пересечения этих графиков и будет являться решением уравнения.

Сначала построим график функции $y = x^2$. Это парабола, вершина которой находится в начале координат $(0, 0)$, а ветви направлены вверх. Составим таблицу ключевых точек для этой функции:

Далее построим график функции $y = \frac{12}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Составим таблицу ключевых точек для этой функции:

Теперь нанесем графики на одну координатную плоскость. Парабола $y = x^2$ расположена в I и II четвертях ($y \ge 0$), а гипербола $y = \frac{12}{x}$ — в I и III четвертях. Следовательно, их пересечение возможно только в I координатной четверти, где $x > 0$ и $y > 0$.

Из построенных графиков видно, что они пересекаются в одной точке. Определим её примерную абсциссу. При $x=2$ значение функции $y=x^2$ равно 4, а значение функции $y=\frac{12}{x}$ равно 6. При $x=3$ значение параболы равно 9, а значение гиперболы равно 4. Это значит, что точка пересечения находится на интервале $x \in (2, 3)$. По графику можно определить, что абсцисса точки пересечения примерно равна 2.3.

Для проверки найдем точное решение. Уравнение $\frac{12}{x} = x^2$ при $x \neq 0$ равносильно уравнению $x^3 = 12$. Отсюда $x = \sqrt[3]{12}$. Поскольку $2^3 = 8$ и $3^3 = 27$, то корень $x = \sqrt[3]{12}$ действительно находится между 2 и 3. Значение $x \approx 2.3$ является хорошим графическим приближением (более точное значение $x \approx 2.29$).

Ответ: $x \approx 2.3$

972. Моторная лодка прошла 30 км по течению реки и возвратилась обратно, затратив на весь путь 5 ч 20 мин. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

Пусть x км/ч - скорость лодки в стоячей воде, тогда (x+3)км/ч - скорость лодки по течению, (x-3)км/ч - скорость лодки против течения. Зная, что на весь путь лодка затратила 5ч20мин, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{30}{x+3}+\frac{30}{x-3}=5\frac{20}{60} \\ \frac{30\left(x-3\right)+30\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}=5\frac{1}{3} \\ \frac{30x-90+30x+90}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{16}{3} \mathrm{/}·3\left(x-3\right)\left(x+3\right) \\ 3·60x=16\left(x-3\right)\left(x+3\right) \\ 16\left(x^2-9\right)=180x \\ 16x^2-144=180x \\ 16x^2-180x-144=0\mathrm{/}:4 \\ 4x^2-45x-36=0 \\ D={\left(-45\right)}^2-4·4·\left(-36\right)=2025+576=2601 \\ x=\frac{45\pm \sqrt{2601}}{8}; x=\frac{45\pm 51}{8} \end{gathered}$$

$x_1=12; x_2=-\frac{6}{8}$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 12 км/ч

Пусть $x$ км/ч — скорость моторной лодки в стоячей воде. Согласно условию, скорость течения реки равна 3 км/ч.

Тогда скорость лодки при движении по течению реки составляет $(x + 3)$ км/ч, а скорость лодки при движении против течения — $(x - 3)$ км/ч. Важно, что для движения против течения собственная скорость лодки должна быть больше скорости течения, то есть $x > 3$.

Лодка прошла 30 км по течению, затратив на это время $t_1 = \frac{30}{x+3}$ часов.

На обратный путь, то есть 30 км против течения, лодка затратила время $t_2 = \frac{30}{x-3}$ часов.

Общее время, затраченное на весь путь, составляет 5 часов 20 минут. Прежде всего, переведем это время в часы:

$5$ ч $20$ мин $= 5 + \frac{20}{60}$ ч $= 5 + \frac{1}{3}$ ч $= \frac{15}{3} + \frac{1}{3} = \frac{16}{3}$ ч.

Теперь составим уравнение, зная, что общее время в пути — это сумма времени движения по течению и против течения:

$t_1 + t_2 = \frac{16}{3}$

$\frac{30}{x+3} + \frac{30}{x-3} = \frac{16}{3}$

Для решения уравнения приведем левую часть к общему знаменателю $(x+3)(x-3) = x^2 - 9$:

$\frac{30(x-3) + 30(x+3)}{x^2-9} = \frac{16}{3}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{30x - 90 + 30x + 90}{x^2-9} = \frac{16}{3}$

$\frac{60x}{x^2-9} = \frac{16}{3}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$60x \cdot 3 = 16 \cdot (x^2-9)$

$180x = 16x^2 - 144$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$16x^2 - 180x - 144 = 0$

Для упрощения расчетов разделим обе части уравнения на их наибольший общий делитель, равный 4:

$4x^2 - 45x - 36 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-45)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-36) = 2025 + 576 = 2601$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{2601} = 51$

$x_1 = \frac{-(-45) + 51}{2 \cdot 4} = \frac{45 + 51}{8} = \frac{96}{8} = 12$

$x_2 = \frac{-(-45) - 51}{2 \cdot 4} = \frac{45 - 51}{8} = \frac{-6}{8} = -0.75$

Поскольку скорость лодки не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -0.75$ не соответствует условию задачи. Корень $x_1 = 12$ удовлетворяет физическому смыслу и условию $x > 3$.

Таким образом, скорость моторной лодки в стоячей воде равна 12 км/ч.

Выполним проверку: Время по течению: $\frac{30}{12+3} = \frac{30}{15} = 2$ часа. Время против течения: $\frac{30}{12-3} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3}$ часа, что равно 3 часам 20 минутам. Общее время: $2$ ч + $3$ ч $20$ мин = $5$ ч $20$ мин. Результат совпадает с условием, следовательно, задача решена верно.

Ответ: 12 км/ч.