Страница 221 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

986. Решите систему неравенств и укажите все целые числа, которые являются её решениями:

a) $\left\{\begin{array}{l}3-2a<13\\ 5a<17\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-2a<10\\ a<\frac{17}{5}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}a>-5\\ a<\mathrm{3,4}\end{array}\right.$

(-5; 3,4)

Ответ: -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3

б) $\left\{\begin{array}{l}12-6x\le 0\\ 3x+1\le 25-x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}6x\ge 12\\ 3x+x\le 24\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ge 2\\ 4x\le 24\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ge 2\\ x\le 6\end{array}\right.$

[2; 6]

Ответ: 2; 3; 4; 5; 6

в) $\left\{\begin{array}{l}2-6y<14\\ 1<21-5y\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-6y<12\\ 5y<20\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y>-2\\ y<4\end{array}\right.$

(-2;4)

Ответ: -1; 0; 1; 2; 3

г) $\left\{\begin{array}{l}3-4x<15\\ 1-2x>0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-4x<12\\ -2x>-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>-3\\ x<\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Ответ: (-3; $\frac{1}{2}$); -2; -1; 0

а)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 3 - 2a < 13 \\ 5a < 17 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $3 - 2a < 13$.

Вычтем 3 из обеих частей:

$-2a < 13 - 3$

$-2a < 10$

Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$a > \frac{10}{-2}$

$a > -5$

Решим второе неравенство: $5a < 17$.

Разделим обе части на 5:

$a < \frac{17}{5}$

$a < 3.4$

Объединяем решения: $a$ должно быть одновременно больше -5 и меньше 3.4. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-5 < a < 3.4$.

Решением системы является интервал $a \in (-5; 3.4)$.

Найдем все целые числа, которые принадлежат этому промежутку: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

б)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 12 - 6x \le 0 \\ 3x + 1 \le 25 - x \end{cases} $

Решим первое неравенство: $12 - 6x \le 0$.

Вычтем 12 из обеих частей:

$-6x \le -12$

Разделим обе части на -6. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \ge \frac{-12}{-6}$

$x \ge 2$

Решим второе неравенство: $3x + 1 \le 25 - x$.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$3x + x \le 25 - 1$

$4x \le 24$

Разделим обе части на 4:

$x \le \frac{24}{4}$

$x \le 6$

Объединяем решения: $x$ должно быть одновременно больше или равно 2 и меньше или равно 6. Это можно записать в виде двойного неравенства: $2 \le x \le 6$.

Решением системы является отрезок $x \in [2; 6]$.

Найдем все целые числа, которые принадлежат этому промежутку: 2, 3, 4, 5, 6.

Ответ: 2, 3, 4, 5, 6.

в)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2 - 6y < 14 \\ 1 < 21 - 5y \end{cases} $

Решим первое неравенство: $2 - 6y < 14$.

Вычтем 2 из обеих частей:

$-6y < 14 - 2$

$-6y < 12$

Разделим обе части на -6, меняя знак неравенства:

$y > \frac{12}{-6}$

$y > -2$

Решим второе неравенство: $1 < 21 - 5y$.

Перенесем слагаемое с $y$ в левую часть, а число — в правую:

$5y < 21 - 1$

$5y < 20$

Разделим обе части на 5:

$y < \frac{20}{5}$

$y < 4$

Объединяем решения: $y$ должно быть одновременно больше -2 и меньше 4. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-2 < y < 4$.

Решением системы является интервал $y \in (-2; 4)$.

Найдем все целые числа, которые принадлежат этому промежутку: -1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: -1, 0, 1, 2, 3.

г)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 3 - 4x < 15 \\ 1 - 2x > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $3 - 4x < 15$.

Вычтем 3 из обеих частей:

$-4x < 15 - 3$

$-4x < 12$

Разделим обе части на -4, меняя знак неравенства:

$x > \frac{12}{-4}$

$x > -3$

Решим второе неравенство: $1 - 2x > 0$.

Вычтем 1 из обеих частей:

$-2x > -1$

Разделим обе части на -2, меняя знак неравенства:

$x < \frac{-1}{-2}$

$x < 0.5$

Объединяем решения: $x$ должно быть одновременно больше -3 и меньше 0.5. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-3 < x < 0.5$.

Решением системы является интервал $x \in (-3; 0.5)$.

Найдем все целые числа, которые принадлежат этому промежутку: -2, -1, 0.

Ответ: -2, -1, 0.

987. Найдите целые решения системы неравенств:

a) $\left\{\begin{array}{l}y\ge 0\\ 7,2-y\ge 4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y\ge 0\\ -y\ge 4-7,2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y\ge 0\\ -y\ge -3,2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y\ge 0\\ y\le 3,2\end{array}\right.$

[0; 3,2]

Ответ: 0; 1; 2; 3

б) $\left\{\begin{array}{l}12a-37>0\\ 6a\le 42\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}12a>37\\ a\le 7\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}a\ge \frac{37}{12}\\ a\le 7\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}a>3\frac{1}{12}\\ a\le 7\end{array}\right.$

($3\frac{1}{12}$; 7]

Ответ: 4; 5; 6; 7

в) $\left\{\begin{array}{c}6-4b>0\\ 3b-1>0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}4b<6\\ 3b>1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b<\mathrm{1,5}\\ b>\frac{1}{3}\end{array}\right.$

$\left(\frac{1}{3}; \mathrm{1,5}\right)(\backslash frac\{1\}\{3\};1,5)$

Ответ: 1

г) $\left\{\begin{array}{l}3-18x<0\\ \mathrm{0,2}-\mathrm{0,1}x>0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}18x>3\\ \mathrm{0,1}x<\mathrm{0,2}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>\frac{3}{18}\\ x<2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>\frac{1}{6}\\ x<2\end{array}\right.$

$\left(\frac{1}{6}; 2\right)(\backslash frac\{1\}\{6\};2)$

Ответ: 1

а) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} y \ge 0 \\ 7,2 - y \ge 4 \end{cases} $

Первое неравенство $y \ge 0$ уже дано в решенном виде относительно y.

Решим второе неравенство:

$7,2 - y \ge 4$

Вычтем 7,2 из обеих частей:

$-y \ge 4 - 7,2$

$-y \ge -3,2$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$y \le 3,2$

Теперь объединим решения обоих неравенств. Решением системы является пересечение промежутков $y \ge 0$ и $y \le 3,2$. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$0 \le y \le 3,2$

Нам нужно найти все целые числа, которые удовлетворяют этому условию. Это числа 0, 1, 2 и 3.

Ответ: 0, 1, 2, 3.

б) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 12a - 37 > 0 \\ 6a \le 42 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$12a - 37 > 0$

$12a > 37$

$a > \frac{37}{12}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $a > 3\frac{1}{12}$.

Решим второе неравенство:

$6a \le 42$

$a \le \frac{42}{6}$

$a \le 7$

Объединим решения: $a$ должно быть больше $3\frac{1}{12}$ и меньше или равно 7. Запишем в виде двойного неравенства:

$3\frac{1}{12} < a \le 7$

Целыми решениями, удовлетворяющими этому неравенству, являются числа 4, 5, 6, 7.

Ответ: 4, 5, 6, 7.

в) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 6 - 4b > 0 \\ 3b - 1 > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$6 - 4b > 0$

$-4b > -6$

Разделим обе части на -4 и сменим знак неравенства:

$b < \frac{-6}{-4}$

$b < \frac{3}{2}$ или $b < 1,5$

Решим второе неравенство:

$3b - 1 > 0$

$3b > 1$

$b > \frac{1}{3}$

Объединим решения. Значение b должно быть в интервале от $\frac{1}{3}$ до $1,5$:

$\frac{1}{3} < b < 1,5$

Единственное целое число, которое находится в этом интервале, это 1.

Ответ: 1.

г) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 3 - 18x < 0 \\ 0,2 - 0,1x > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$3 - 18x < 0$

$-18x < -3$

Разделим обе части на -18 и сменим знак неравенства:

$x > \frac{-3}{-18}$

$x > \frac{1}{6}$

Решим второе неравенство:

$0,2 - 0,1x > 0$

$-0,1x > -0,2$

Разделим обе части на -0,1 и сменим знак неравенства:

$x < \frac{-0,2}{-0,1}$

$x < 2$

Объединим решения. Значение x должно быть в интервале от $\frac{1}{6}$ до 2:

$\frac{1}{6} < x < 2$

Единственное целое число в этом интервале — это 1.

Ответ: 1.

988. Решите систему неравенств:

a) $\left\{\begin{array}{l}2,5a-0,5\left(8-a\right)<a+1,6\\ 1,5\left(2a-1\right)-2a<a+2,9\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}2,5a-4+0,5a<a+1,6\\ 3a-1,5-2a<a+2,9\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3a-a<1,6+4\\ a-a<2,9+1,5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}2a<5,6\\ 0a<3,4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}a<2,8\\ a-\text{любое число}\end{array}\right.$

Ответ: (-∞; 2,8)

б) $\left\{\begin{array}{l}0,7\left(5a+1\right)-0,5\left(1+a\right)<3a\\ 2a-\left(a-1,7\right)>6,7\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}3,5a+0,7-0,5-0,5a<3a\\ 2a-a+1,7>6,7\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}3a-3a<-0,2\\ a>5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}0a<-0,2\\ a>5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{\varnothing }\\ \mathrm{a}>5\end{array}\right.$

Ответ: решений нет

а)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:

$2,5a - 0,5(8 - a) < a + 1,6$

Раскроем скобки в левой части:

$2,5a - 4 + 0,5a < a + 1,6$

Приведем подобные слагаемые:

$3a - 4 < a + 1,6$

Соберем слагаемые с переменной $a$ в левой части, а свободные члены — в правой:

$3a - a < 1,6 + 4$

$2a < 5,6$

Разделим обе части неравенства на 2:

$a < 2,8$

Второе неравенство:

$1,5(2a - 1) - 2a < a + 2,9$

Раскроем скобки:

$3a - 1,5 - 2a < a + 2,9$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$a - 1,5 < a + 2,9$

Перенесем слагаемые с переменной $a$ в одну сторону, а числовые — в другую:

$a - a < 2,9 + 1,5$

$0 < 4,4$

Полученное неравенство верно при любом значении $a$. Таким образом, решением второго неравенства является множество всех действительных чисел, то есть $a \in (-\infty; +\infty)$.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств. Нам нужно найти значения $a$, которые одновременно удовлетворяют условиям $a < 2,8$ и $a \in (-\infty; +\infty)$. Пересечением этих множеств является интервал $a < 2,8$.

Ответ: $a \in (-\infty; 2,8)$.

б)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:

$0,7(5a + 1) - 0,5(1 + a) < 3a$

Раскроем скобки:

$3,5a + 0,7 - 0,5 - 0,5a < 3a$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3a + 0,2 < 3a$

Вычтем $3a$ из обеих частей неравенства:

$0,2 < 0$

Полученное неравенство является ложным, так как 0,2 не меньше 0. Следовательно, первое неравенство не имеет решений (решение — пустое множество, $a \in \emptyset$).

Поскольку решение системы неравенств — это пересечение решений каждого из неравенств, а решение первого неравенства — пустое множество, то и вся система не имеет решений. Пересечение любого множества с пустым множеством есть пустое множество.

Для полноты картины решим второе неравенство:

$2a - (a - 1,7) > 6,7$

Раскроем скобки:

$2a - a + 1,7 > 6,7$

$a + 1,7 > 6,7$

Перенесем 1,7 в правую часть:

$a > 6,7 - 1,7$

$a > 5$

Решением второго неравенства является интервал $a \in (5; +\infty)$.

Пересечением пустого множества $\emptyset$ (решение первого неравенства) и интервала $(5; +\infty)$ (решение второго неравенства) является пустое множество.

Ответ: нет решений.

989. Решите систему неравенств:

a) $\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{3}+\frac{x}{4}<7 /·12\\ 1-\frac{x}{6}>0 /·6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}4x+3x<84\\ 6-x>0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}7x<84\\ x<6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<12\\ x<6\end{array}\right.$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; 6\right)(-\backslash infty;\; 6)$

б) $\left\{\begin{array}{l}y-\frac{y-1}{2}>1 /·2\\ \frac{y}{3}<5 /·3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2y-\left(y-1\right)>2\\ y<15\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}2y-y+1>2\\ y<15\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y>1\\ y<15\end{array}\right.$

Ответ: $\left(1; 15\right)(1;\; 15)$

в) $\left\{\begin{array}{l}\frac{3x-1}{2}-x\le 2 /·2\\ 2x-\frac{x}{3}\ge 1 /·3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3x-1-2x\le 4\\ 6x-x\ge 3\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x\le 5\\ 5x\ge 3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\le 5\\ x\ge 0,6\end{array}\right.$

Ответ: $[0,6; 5][0,6;\; 5]$

г) $\left\{\begin{array}{l}2p-\frac{p-2}{5}>4 /·5\\ \frac{p}{2}-\frac{p}{8}\le 6 /·8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}10p-\left(p-2\right)>20\\ 4p-p\le 48\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}10p-p+2>20\\ 3p\le 48\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}9p>18\\ p\le 16\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}p>2\\ p\le 16\end{array}\right.$

Ответ: $(2; 16]$

а)

Решим первое неравенство системы:
$\frac{x}{3} + \frac{x}{4} < 7$
Приведем левую часть к общему знаменателю 12:
$\frac{4x + 3x}{12} < 7$
$\frac{7x}{12} < 7$
Умножим обе части на 12:
$7x < 84$
Разделим обе части на 7:
$x < 12$

Решим второе неравенство системы:
$1 - \frac{x}{6} > 0$
Перенесем $\frac{x}{6}$ в правую часть:
$1 > \frac{x}{6}$
Умножим обе части на 6:
$6 > x$, или $x < 6$

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств: $x < 12$ и $x < 6$. Пересечением этих условий является $x < 6$.

Ответ: $(-\infty; 6)$

б)

Решим первое неравенство системы:
$y - \frac{y-1}{2} > 1$
Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
$2y - (y-1) > 2$
$2y - y + 1 > 2$
$y + 1 > 2$
$y > 1$

Решим второе неравенство системы:
$\frac{y}{3} < 5$
Умножим обе части на 3:
$y < 15$

Решением системы является пересечение множеств решений $y > 1$ и $y < 15$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $1 < y < 15$.

Ответ: $(1; 15)$

в)

Решим первое неравенство системы:
$\frac{3x-1}{2} - x \le 2$
Умножим обе части на 2:
$3x-1 - 2x \le 4$
$x - 1 \le 4$
$x \le 5$

Решим второе неравенство системы:
$2x - \frac{x}{3} \ge 1$
Умножим обе части на 3:
$6x - x \ge 3$
$5x \ge 3$
$x \ge \frac{3}{5}$

Решением системы является пересечение множеств решений $x \le 5$ и $x \ge \frac{3}{5}$. Это соответствует отрезку $[\frac{3}{5}; 5]$.

Ответ: $[\frac{3}{5}; 5]$

г)

Решим первое неравенство системы:
$2p - \frac{p-2}{5} > 4$
Умножим обе части на 5:
$10p - (p-2) > 20$
$10p - p + 2 > 20$
$9p + 2 > 20$
$9p > 18$
$p > 2$

Решим второе неравенство системы:
$\frac{p}{2} - \frac{p}{8} \le 6$
Приведем левую часть к общему знаменателю 8:
$\frac{4p - p}{8} \le 6$
$\frac{3p}{8} \le 6$
Умножим обе части на 8:
$3p \le 48$
Разделим обе части на 3:
$p \le 16$

Решением системы является пересечение множеств решений $p > 2$ и $p \le 16$. Это соответствует полуинтервалу $(2; 16]$.

Ответ: $(2; 16]$

990. Решите систему неравенств:

a) $\left\{\begin{array}{l}\frac{x-1}{2}-\frac{x-3}{3}<2 /·6\\ \frac{13x-1}{2}>0 /·2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3\left(x-1\right)-2\left(x-3\right)<12\\ 13x-1>0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}3x-3-2x+6<12\\ 13x>1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<12-3\\ x>\frac{1}{13}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<9\\ x>\frac{1}{13}\end{array}\right.$

Ответ: ($\frac{1}{13}$; 9)

б) $\left\{\begin{array}{l}\frac{3x+1}{2}<-1 /·2\\ \frac{x}{2}-1<x /·2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}3x+1<-2\\ x-2<2x\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}3x<-3\\ x-2x<2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x<-1\\ -x<2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<-1\\ x<-2\end{array}\right.$

Ответ: (-2; -1)

в) $\left\{\begin{array}{l}4-\frac{y-1}{3}\ge y /·3\\ \frac{7y-1}{8}\ge 6 /·8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}12-\left(y-1\right)\ge 3y\\ 7y-1\ge 48\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}12-y+1\ge 3y\\ 7y\ge 49\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-y-3y\ge -13\\ y\ge 7\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}-4y\ge -13\\ y\ge 7\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y\le \frac{13}{4}\\ y\ge 7\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y\le 3\frac{1}{4}\\ y\ge 7\end{array}\right.$

Ответ: решений нет

г) $\left\{\begin{array}{l}\frac{5a+8}{3}-a\ge 2a \mathrm{/}·3\\ 1-\frac{6-15a}{4}\ge a \mathrm{/}·4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}5a+8-3a\ge 6a\\ 4-\left(6-15a\right)\ge 4a\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}2a-6a\ge -8\\ 4-6+15a\ge 4a\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-4a\ge -8\\ 15a-4a\ge 2\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}a\le 2\\ 11a\ge 2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}a\le 2\\ a\ge \frac{2}{11}\end{array}\right.$

Ответ: $\left[\frac{2}{11}; 2\right]$

а)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1) Первое неравенство:

$\frac{x-1}{2} - \frac{x-3}{3} < 2$

Приведем дроби к общему знаменателю 6 и умножим обе части неравенства на 6:

$6 \cdot \frac{x-1}{2} - 6 \cdot \frac{x-3}{3} < 6 \cdot 2$

$3(x-1) - 2(x-3) < 12$

Раскроем скобки:

$3x - 3 - 2x + 6 < 12$

Приведем подобные слагаемые:

$x + 3 < 12$

Перенесем 3 в правую часть:

$x < 12 - 3$

$x < 9$

2) Второе неравенство:

$\frac{13x-1}{2} > 0$

Умножим обе части на 2:

$13x - 1 > 0$

$13x > 1$

$x > \frac{1}{13}$

3) Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x > \frac{1}{13}$ и $x < 9$.

Решением системы является интервал, в котором выполняются оба условия, то есть $x$ находится между $\frac{1}{13}$ и 9.

Ответ: $(\frac{1}{13}; 9)$

б)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1) Первое неравенство:

$\frac{3x+1}{2} < -1$

Умножим обе части на 2:

$3x + 1 < -2$

$3x < -2 - 1$

$3x < -3$

$x < -1$

2) Второе неравенство:

$\frac{x}{2} - 1 < x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую:

$-1 < x - \frac{x}{2}$

$-1 < \frac{2x-x}{2}$

$-1 < \frac{x}{2}$

Умножим обе части на 2:

$-2 < x$ или $x > -2$

3) Найдем пересечение решений: $x < -1$ и $x > -2$.

Решением системы является интервал $(-2; -1)$.

Ответ: $(-2; -1)$

в)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1) Первое неравенство:

$4 - \frac{y-1}{3} \geqslant y$

Умножим обе части на 3:

$3 \cdot 4 - (y-1) \geqslant 3y$

$12 - y + 1 \geqslant 3y$

$13 - y \geqslant 3y$

$13 \geqslant 3y + y$

$13 \geqslant 4y$

$y \leqslant \frac{13}{4}$

$y \leqslant 3.25$

2) Второе неравенство:

$\frac{7y-1}{8} \geqslant 6$

Умножим обе части на 8:

$7y - 1 \geqslant 48$

$7y \geqslant 49$

$y \geqslant \frac{49}{7}$

$y \geqslant 7$

3) Найдем пересечение решений: $y \leqslant 3.25$ и $y \geqslant 7$.

Нет такого числа $y$, которое было бы одновременно меньше или равно 3.25 и больше или равно 7. Следовательно, множества решений не пересекаются.

Ответ: нет решений

г)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1) Первое неравенство:

$\frac{5a+8}{3} - a \geqslant 2a$

Перенесем $-a$ в правую часть:

$\frac{5a+8}{3} \geqslant 3a$

Умножим обе части на 3:

$5a + 8 \geqslant 9a$

$8 \geqslant 9a - 5a$

$8 \geqslant 4a$

$2 \geqslant a$ или $a \leqslant 2$

2) Второе неравенство:

$1 - \frac{6-15a}{4} \geqslant a$

Умножим обе части на 4:

$4 \cdot 1 - (6-15a) \geqslant 4a$

$4 - 6 + 15a \geqslant 4a$

$-2 + 15a \geqslant 4a$

$15a - 4a \geqslant 2$

$11a \geqslant 2$

$a \geqslant \frac{2}{11}$

3) Найдем пересечение решений: $a \leqslant 2$ и $a \geqslant \frac{2}{11}$.

Решением системы является отрезок $[\frac{2}{11}; 2]$.

Ответ: $[\frac{2}{11}; 2]$

991. Решите двойное неравенство:

a) -3<2x-1<3

-2<2x<4

-1<x<2

Ответ: (-1; 2)

б) 2<6-2y<5

-4<-2y<-1

1<2y<4

$\frac{1}{2}\backslash frac\{1\}\{2\}$<y<2

Ответ: ($\frac{1}{2}\backslash frac\{1\}\{2\}$; 2)

в) -12<5-x<17

-17< -x<12

-12<x<17

Ответ: (-12; 17)

г) -1<5y+4<19

-5<5y<15

-1<y<3

Ответ: (-1; 3)

а) Дано двойное неравенство $-3 < 2x - 1 < 3$. Для его решения необходимо изолировать переменную $x$ в центральной части. Выполним равносильные преобразования для всех трех частей неравенства.
1. Прибавим 1 ко всем частям неравенства, чтобы избавиться от $-1$ в центре:
$-3 + 1 < 2x - 1 + 1 < 3 + 1$
$-2 < 2x < 4$
2. Разделим все части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:
$\frac{-2}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{4}{2}$
$-1 < x < 2$
Решением является интервал $(-1; 2)$.
Ответ: $-1 < x < 2$.

б) Дано двойное неравенство $-12 < 5 - x < 17$.
1. Вычтем 5 из всех частей неравенства, чтобы изолировать слагаемое с $x$:
$-12 - 5 < 5 - x - 5 < 17 - 5$
$-17 < -x < 12$
2. Умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-17) \cdot (-1) > (-x) \cdot (-1) > 12 \cdot (-1)$
$17 > x > -12$
Для удобства чтения запишем неравенство в стандартном виде, от меньшего числа к большему:
$-12 < x < 17$
Решением является интервал $(-12; 17)$.
Ответ: $-12 < x < 17$.

в) Дано двойное неравенство $2 < 6 - 2y < 5$.
1. Вычтем 6 из всех частей неравенства:
$2 - 6 < 6 - 2y - 6 < 5 - 6$
$-4 < -2y < -1$
2. Разделим все части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$\frac{-4}{-2} > \frac{-2y}{-2} > \frac{-1}{-2}$
$2 > y > \frac{1}{2}$
Запишем неравенство в стандартном виде, от меньшего числа к большему:
$\frac{1}{2} < y < 2$
Решением является интервал $(\frac{1}{2}; 2)$.
Ответ: $\frac{1}{2} < y < 2$.

г) Дано двойное неравенство $-1 < 5y + 4 < 19$.
1. Вычтем 4 из всех частей неравенства:
$-1 - 4 < 5y + 4 - 4 < 19 - 4$
$-5 < 5y < 15$
2. Разделим все части неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:
$\frac{-5}{5} < \frac{5y}{5} < \frac{15}{5}$
$-1 < y < 3$
Решением является интервал $(-1; 3)$.
Ответ: $-1 < y < 3$.