Номер 988, страница 221 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

40. Решение систем неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 988, страница 221.

988. Решите систему неравенств:

a) $\left\{\begin{array}{l}2,5a-0,5\left(8-a\right)<a+1,6\\ 1,5\left(2a-1\right)-2a<a+2,9\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}2,5a-4+0,5a<a+1,6\\ 3a-1,5-2a<a+2,9\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3a-a<1,6+4\\ a-a<2,9+1,5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}2a<5,6\\ 0a<3,4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}a<2,8\\ a-\text{любое число}\end{array}\right.$

Ответ: (-∞; 2,8)

б) $\left\{\begin{array}{l}0,7\left(5a+1\right)-0,5\left(1+a\right)<3a\\ 2a-\left(a-1,7\right)>6,7\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}3,5a+0,7-0,5-0,5a<3a\\ 2a-a+1,7>6,7\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}3a-3a<-0,2\\ a>5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}0a<-0,2\\ a>5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{\varnothing }\\ \mathrm{a}>5\end{array}\right.$

Ответ: решений нет

а)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:

$2,5a - 0,5(8 - a) < a + 1,6$

Раскроем скобки в левой части:

$2,5a - 4 + 0,5a < a + 1,6$

Приведем подобные слагаемые:

$3a - 4 < a + 1,6$

Соберем слагаемые с переменной $a$ в левой части, а свободные члены — в правой:

$3a - a < 1,6 + 4$

$2a < 5,6$

Разделим обе части неравенства на 2:

$a < 2,8$

Второе неравенство:

$1,5(2a - 1) - 2a < a + 2,9$

Раскроем скобки:

$3a - 1,5 - 2a < a + 2,9$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$a - 1,5 < a + 2,9$

Перенесем слагаемые с переменной $a$ в одну сторону, а числовые — в другую:

$a - a < 2,9 + 1,5$

$0 < 4,4$

Полученное неравенство верно при любом значении $a$. Таким образом, решением второго неравенства является множество всех действительных чисел, то есть $a \in (-\infty; +\infty)$.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств. Нам нужно найти значения $a$, которые одновременно удовлетворяют условиям $a < 2,8$ и $a \in (-\infty; +\infty)$. Пересечением этих множеств является интервал $a < 2,8$.

Ответ: $a \in (-\infty; 2,8)$.

б)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:

$0,7(5a + 1) - 0,5(1 + a) < 3a$

Раскроем скобки:

$3,5a + 0,7 - 0,5 - 0,5a < 3a$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3a + 0,2 < 3a$

Вычтем $3a$ из обеих частей неравенства:

$0,2 < 0$

Полученное неравенство является ложным, так как 0,2 не меньше 0. Следовательно, первое неравенство не имеет решений (решение — пустое множество, $a \in \emptyset$).

Поскольку решение системы неравенств — это пересечение решений каждого из неравенств, а решение первого неравенства — пустое множество, то и вся система не имеет решений. Пересечение любого множества с пустым множеством есть пустое множество.

Для полноты картины решим второе неравенство:

$2a - (a - 1,7) > 6,7$

Раскроем скобки:

$2a - a + 1,7 > 6,7$

$a + 1,7 > 6,7$

Перенесем 1,7 в правую часть:

$a > 6,7 - 1,7$

$a > 5$

Решением второго неравенства является интервал $a \in (5; +\infty)$.

Пересечением пустого множества $\emptyset$ (решение первого неравенства) и интервала $(5; +\infty)$ (решение второго неравенства) является пустое множество.

Ответ: нет решений.