Номер 989, страница 221 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

40. Решение систем неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 989, страница 221.

989. Решите систему неравенств:

a) $\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{3}+\frac{x}{4}<7 /·12\\ 1-\frac{x}{6}>0 /·6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}4x+3x<84\\ 6-x>0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}7x<84\\ x<6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<12\\ x<6\end{array}\right.$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; 6\right)(-\backslash infty;\; 6)$

 

б) $\left\{\begin{array}{l}y-\frac{y-1}{2}>1 /·2\\ \frac{y}{3}<5 /·3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2y-\left(y-1\right)>2\\ y<15\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}2y-y+1>2\\ y<15\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y>1\\ y<15\end{array}\right.$

Ответ: $\left(1; 15\right)(1;\; 15)$

 

в) $\left\{\begin{array}{l}\frac{3x-1}{2}-x\le 2 /·2\\ 2x-\frac{x}{3}\ge 1 /·3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3x-1-2x\le 4\\ 6x-x\ge 3\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x\le 5\\ 5x\ge 3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\le 5\\ x\ge 0,6\end{array}\right.$

Ответ: $[0,6; 5][0,6;\; 5]$

 

г) $\left\{\begin{array}{l}2p-\frac{p-2}{5}>4 /·5\\ \frac{p}{2}-\frac{p}{8}\le 6 /·8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}10p-\left(p-2\right)>20\\ 4p-p\le 48\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}10p-p+2>20\\ 3p\le 48\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}9p>18\\ p\le 16\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}p>2\\ p\le 16\end{array}\right.$

Ответ: $(2; 16]$

а)

Решим первое неравенство системы:
$\frac{x}{3} + \frac{x}{4} < 7$
Приведем левую часть к общему знаменателю 12:
$\frac{4x + 3x}{12} < 7$
$\frac{7x}{12} < 7$
Умножим обе части на 12:
$7x < 84$
Разделим обе части на 7:
$x < 12$

Решим второе неравенство системы:
$1 - \frac{x}{6} > 0$
Перенесем $\frac{x}{6}$ в правую часть:
$1 > \frac{x}{6}$
Умножим обе части на 6:
$6 > x$, или $x < 6$

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств: $x < 12$ и $x < 6$. Пересечением этих условий является $x < 6$.

Ответ: $(-\infty; 6)$

б)

Решим первое неравенство системы:
$y - \frac{y-1}{2} > 1$
Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
$2y - (y-1) > 2$
$2y - y + 1 > 2$
$y + 1 > 2$
$y > 1$

Решим второе неравенство системы:
$\frac{y}{3} < 5$
Умножим обе части на 3:
$y < 15$

Решением системы является пересечение множеств решений $y > 1$ и $y < 15$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $1 < y < 15$.

Ответ: $(1; 15)$

в)

Решим первое неравенство системы:
$\frac{3x-1}{2} - x \le 2$
Умножим обе части на 2:
$3x-1 - 2x \le 4$
$x - 1 \le 4$
$x \le 5$

Решим второе неравенство системы:
$2x - \frac{x}{3} \ge 1$
Умножим обе части на 3:
$6x - x \ge 3$
$5x \ge 3$
$x \ge \frac{3}{5}$

Решением системы является пересечение множеств решений $x \le 5$ и $x \ge \frac{3}{5}$. Это соответствует отрезку $[\frac{3}{5}; 5]$.

Ответ: $[\frac{3}{5}; 5]$

г)

Решим первое неравенство системы:
$2p - \frac{p-2}{5} > 4$
Умножим обе части на 5:
$10p - (p-2) > 20$
$10p - p + 2 > 20$
$9p + 2 > 20$
$9p > 18$
$p > 2$

Решим второе неравенство системы:
$\frac{p}{2} - \frac{p}{8} \le 6$
Приведем левую часть к общему знаменателю 8:
$\frac{4p - p}{8} \le 6$
$\frac{3p}{8} \le 6$
Умножим обе части на 8:
$3p \le 48$
Разделим обе части на 3:
$p \le 16$

Решением системы является пересечение множеств решений $p > 2$ и $p \le 16$. Это соответствует полуинтервалу $(2; 16]$.

Ответ: $(2; 16]$