Номер 990, страница 221 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

40. Решение систем неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 990, страница 221.

990. Решите систему неравенств:

a) $\left\{\begin{array}{l}\frac{x-1}{2}-\frac{x-3}{3}<2 /·6\\ \frac{13x-1}{2}>0 /·2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3\left(x-1\right)-2\left(x-3\right)<12\\ 13x-1>0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}3x-3-2x+6<12\\ 13x>1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<12-3\\ x>\frac{1}{13}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<9\\ x>\frac{1}{13}\end{array}\right.$

Ответ: ($\frac{1}{13}$; 9)

 

б) $\left\{\begin{array}{l}\frac{3x+1}{2}<-1 /·2\\ \frac{x}{2}-1<x /·2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}3x+1<-2\\ x-2<2x\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}3x<-3\\ x-2x<2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x<-1\\ -x<2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<-1\\ x<-2\end{array}\right.$

Ответ: (-2; -1)

в) $\left\{\begin{array}{l}4-\frac{y-1}{3}\ge y /·3\\ \frac{7y-1}{8}\ge 6 /·8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}12-\left(y-1\right)\ge 3y\\ 7y-1\ge 48\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}12-y+1\ge 3y\\ 7y\ge 49\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-y-3y\ge -13\\ y\ge 7\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}-4y\ge -13\\ y\ge 7\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y\le \frac{13}{4}\\ y\ge 7\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y\le 3\frac{1}{4}\\ y\ge 7\end{array}\right.$

Ответ: решений нет

г) $\left\{\begin{array}{l}\frac{5a+8}{3}-a\ge 2a \mathrm{/}·3\\ 1-\frac{6-15a}{4}\ge a \mathrm{/}·4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}5a+8-3a\ge 6a\\ 4-\left(6-15a\right)\ge 4a\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}2a-6a\ge -8\\ 4-6+15a\ge 4a\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-4a\ge -8\\ 15a-4a\ge 2\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}a\le 2\\ 11a\ge 2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}a\le 2\\ a\ge \frac{2}{11}\end{array}\right.$

Ответ: $\left[\frac{2}{11}; 2\right]$

а)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1) Первое неравенство:

$\frac{x-1}{2} - \frac{x-3}{3} < 2$

Приведем дроби к общему знаменателю 6 и умножим обе части неравенства на 6:

$6 \cdot \frac{x-1}{2} - 6 \cdot \frac{x-3}{3} < 6 \cdot 2$

$3(x-1) - 2(x-3) < 12$

Раскроем скобки:

$3x - 3 - 2x + 6 < 12$

Приведем подобные слагаемые:

$x + 3 < 12$

Перенесем 3 в правую часть:

$x < 12 - 3$

$x < 9$

2) Второе неравенство:

$\frac{13x-1}{2} > 0$

Умножим обе части на 2:

$13x - 1 > 0$

$13x > 1$

$x > \frac{1}{13}$

3) Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x > \frac{1}{13}$ и $x < 9$.

Решением системы является интервал, в котором выполняются оба условия, то есть $x$ находится между $\frac{1}{13}$ и 9.

Ответ: $(\frac{1}{13}; 9)$

б)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1) Первое неравенство:

$\frac{3x+1}{2} < -1$

Умножим обе части на 2:

$3x + 1 < -2$

$3x < -2 - 1$

$3x < -3$

$x < -1$

2) Второе неравенство:

$\frac{x}{2} - 1 < x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую:

$-1 < x - \frac{x}{2}$

$-1 < \frac{2x-x}{2}$

$-1 < \frac{x}{2}$

Умножим обе части на 2:

$-2 < x$ или $x > -2$

3) Найдем пересечение решений: $x < -1$ и $x > -2$.

Решением системы является интервал $(-2; -1)$.

Ответ: $(-2; -1)$

в)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1) Первое неравенство:

$4 - \frac{y-1}{3} \geqslant y$

Умножим обе части на 3:

$3 \cdot 4 - (y-1) \geqslant 3y$

$12 - y + 1 \geqslant 3y$

$13 - y \geqslant 3y$

$13 \geqslant 3y + y$

$13 \geqslant 4y$

$y \leqslant \frac{13}{4}$

$y \leqslant 3.25$

2) Второе неравенство:

$\frac{7y-1}{8} \geqslant 6$

Умножим обе части на 8:

$7y - 1 \geqslant 48$

$7y \geqslant 49$

$y \geqslant \frac{49}{7}$

$y \geqslant 7$

3) Найдем пересечение решений: $y \leqslant 3.25$ и $y \geqslant 7$.

Нет такого числа $y$, которое было бы одновременно меньше или равно 3.25 и больше или равно 7. Следовательно, множества решений не пересекаются.

Ответ: нет решений

г)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1) Первое неравенство:

$\frac{5a+8}{3} - a \geqslant 2a$

Перенесем $-a$ в правую часть:

$\frac{5a+8}{3} \geqslant 3a$

Умножим обе части на 3:

$5a + 8 \geqslant 9a$

$8 \geqslant 9a - 5a$

$8 \geqslant 4a$

$2 \geqslant a$ или $a \leqslant 2$

2) Второе неравенство:

$1 - \frac{6-15a}{4} \geqslant a$

Умножим обе части на 4:

$4 \cdot 1 - (6-15a) \geqslant 4a$

$4 - 6 + 15a \geqslant 4a$

$-2 + 15a \geqslant 4a$

$15a - 4a \geqslant 2$

$11a \geqslant 2$

$a \geqslant \frac{2}{11}$

3) Найдем пересечение решений: $a \leqslant 2$ и $a \geqslant \frac{2}{11}$.

Решением системы является отрезок $[\frac{2}{11}; 2]$.

Ответ: $[\frac{2}{11}; 2]$