Номер 991, страница 221 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

40. Решение систем неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 991, страница 221.

991. Решите двойное неравенство:

a) -3<2x-1<3

-2<2x<4

-1<x<2

Ответ: (-1; 2)

б) 2<6-2y<5

-4<-2y<-1

1<2y<4

$\frac{1}{2}\backslash frac\{1\}\{2\}$<y<2

Ответ: ($\frac{1}{2}\backslash frac\{1\}\{2\}$; 2)

в) -12<5-x<17

-17< -x<12

-12<x<17

Ответ: (-12; 17)

г) -1<5y+4<19

-5<5y<15

-1<y<3

Ответ: (-1; 3)

а) Дано двойное неравенство $-3 < 2x - 1 < 3$. Для его решения необходимо изолировать переменную $x$ в центральной части. Выполним равносильные преобразования для всех трех частей неравенства.
1. Прибавим 1 ко всем частям неравенства, чтобы избавиться от $-1$ в центре:
$-3 + 1 < 2x - 1 + 1 < 3 + 1$
$-2 < 2x < 4$
2. Разделим все части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:
$\frac{-2}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{4}{2}$
$-1 < x < 2$
Решением является интервал $(-1; 2)$.
Ответ: $-1 < x < 2$.

б) Дано двойное неравенство $-12 < 5 - x < 17$.
1. Вычтем 5 из всех частей неравенства, чтобы изолировать слагаемое с $x$:
$-12 - 5 < 5 - x - 5 < 17 - 5$
$-17 < -x < 12$
2. Умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-17) \cdot (-1) > (-x) \cdot (-1) > 12 \cdot (-1)$
$17 > x > -12$
Для удобства чтения запишем неравенство в стандартном виде, от меньшего числа к большему:
$-12 < x < 17$
Решением является интервал $(-12; 17)$.
Ответ: $-12 < x < 17$.

в) Дано двойное неравенство $2 < 6 - 2y < 5$.
1. Вычтем 6 из всех частей неравенства:
$2 - 6 < 6 - 2y - 6 < 5 - 6$
$-4 < -2y < -1$
2. Разделим все части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$\frac{-4}{-2} > \frac{-2y}{-2} > \frac{-1}{-2}$
$2 > y > \frac{1}{2}$
Запишем неравенство в стандартном виде, от меньшего числа к большему:
$\frac{1}{2} < y < 2$
Решением является интервал $(\frac{1}{2}; 2)$.
Ответ: $\frac{1}{2} < y < 2$.

г) Дано двойное неравенство $-1 < 5y + 4 < 19$.
1. Вычтем 4 из всех частей неравенства:
$-1 - 4 < 5y + 4 - 4 < 19 - 4$
$-5 < 5y < 15$
2. Разделим все части неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:
$\frac{-5}{5} < \frac{5y}{5} < \frac{15}{5}$
$-1 < y < 3$
Решением является интервал $(-1; 3)$.
Ответ: $-1 < y < 3$.