Номер 998, страница 222 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

40. Решение систем неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 998, страница 222.

998. Решите систему неравенств:

а) $\left\{\begin{array}{l}x-4<8\\ 2x+5<13\\ 3-x>1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<12\\ 2x<8\\ -x>-2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<12\\ x<4\\ x<2\end{array}\right.$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; 2\right)(-\backslash infty;2)$

 

б) $\left\{\begin{array}{l}2x-1<x+3\\ 5x-1>6-2x\\ x-5<0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x-x<4\\ 5x+2x>7\\ x<5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<4\\ 7x>7\\ x<5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<4\\ x>1\\ x<5\end{array}\right.$

Ответ: (1; 4)

а) Для решения системы необходимо решить каждое неравенство по отдельности и найти пересечение их решений.

$\begin{cases} x - 4 < 8, \\ 2x + 5 < 13, \\ 3 - x > 1; \end{cases}$

1) Решим первое неравенство:

$x - 4 < 8$

$x < 8 + 4$

$x < 12$

2) Решим второе неравенство:

$2x + 5 < 13$

$2x < 13 - 5$

$2x < 8$

$x < 4$

3) Решим третье неравенство:

$3 - x > 1$

$-x > 1 - 3$

$-x > -2$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$x < 2$

Теперь необходимо найти пересечение решений всех трех неравенств: $x < 12$, $x < 4$ и $x < 2$. Общим решением, удовлетворяющим всем трем условиям, является самое строгое из них, то есть $x < 2$. На числовой прямой это пересечение интервалов $(-\infty; 12)$, $(-\infty; 4)$ и $(-\infty; 2)$, что дает интервал $(-\infty; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

б) Для решения системы необходимо решить каждое неравенство по отдельности и найти пересечение их решений.

$\begin{cases} 2x - 1 < x + 3, \\ 5x - 1 > 6 - 2x, \\ x - 5 < 0; \end{cases}$

1) Решим первое неравенство:

$2x - 1 < x + 3$

$2x - x < 3 + 1$

$x < 4$

2) Решим второе неравенство:

$5x - 1 > 6 - 2x$

$5x + 2x > 6 + 1$

$7x > 7$

$x > 1$

3) Решим третье неравенство:

$x - 5 < 0$

$x < 5$

Найдем пересечение полученных решений: $x < 4$, $x > 1$ и $x < 5$. Это можно представить как пересечение интервалов $(-\infty; 4)$, $(1; +\infty)$ и $(-\infty; 5)$.

Пересечение интервалов $(-\infty; 4)$ и $(-\infty; 5)$ дает интервал $(-\infty; 4)$.

Теперь найдем пересечение результата с оставшимся интервалом: $(-\infty; 4) \cap (1; +\infty)$.

Результатом является интервал $(1; 4)$, что эквивалентно двойному неравенству $1 < x < 4$.

Ответ: $x \in (1; 4)$.