Номер 1001, страница 223 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

40. Решение систем неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 1001, страница 223.

1001. Найдите все натуральные значения n, при которых значение дроби 9n² + 12n + 12n — натуральное число.

$\frac{9n^2+12n+12}{n}=\frac{9n^2}{n}+\frac{12n}{n}+\frac{12}{n}=9n+12+\frac{12}{n}$

n=1, 2, 3, 4, 6, 12

Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 12

По условию задачи, $n$ — натуральное число ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$), и значение дроби $\frac{9n^2 + 12n + 12}{n}$ также должно быть натуральным числом.

Для нахождения всех таких $n$, преобразуем данное выражение, разделив числитель почленно на знаменатель. Получим: $\frac{9n^2 + 12n + 12}{n} = \frac{9n^2}{n} + \frac{12n}{n} + \frac{12}{n} = 9n + 12 + \frac{12}{n}$.

Выражение $9n + 12 + \frac{12}{n}$ должно быть натуральным числом. Поскольку $n$ — натуральное число, то $9n$ — натуральное число, и $12$ — натуральное число. Сумма двух натуральных чисел $(9n + 12)$ также всегда будет натуральным числом.

Следовательно, для того чтобы вся сумма $9n + 12 + \frac{12}{n}$ была натуральным числом, необходимо, чтобы слагаемое $\frac{12}{n}$ было целым числом. Так как $n$ по условию является натуральным числом ($n > 0$), то и $\frac{12}{n}$ должно быть натуральным числом.

Это возможно только в том случае, если $n$ является натуральным делителем числа 12.

Всеми натуральными делителями числа 12 являются числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 12.