Номер 996, страница 222 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

40. Решение систем неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 996, страница 222.

996. При каких значениях b уравнение имеет два отрицательных корня?

x² – 6bx + 9b² – 16 = 0

$$\begin{gathered} x^2-6bx+9b^2-16=0 \\ D={\left(-6b\right)}^2-4·1·\left(9b^2-16\right)= \\ =36b^2-36b^2+64=64 \\ x=\frac{6b\pm \sqrt{64}}{2}; x=\frac{6b\pm 8}{2} \\ {x}_1=\frac{6b+8}{2}=3b+4 \\ {x}_2=\frac{6b-8}{2}=3b-4 \\ \left\{\begin{array}{l}3b+4<0\\ 3b-4<0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3b<-4\\ 3b<4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b<-\frac{4}{3}\\ b<\frac{4}{3}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b<-1\frac{1}{3}\\ b<1\frac{1}{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: при

Данное уравнение $x^2 - 6bx + 9b^2 - 16 = 0$ является квадратным относительно переменной $x$. Чтобы найти значения параметра $b$, при которых уравнение имеет два отрицательных корня, можно пойти двумя путями: через анализ дискриминанта и теорему Виета или через прямое нахождение корней. В данном случае второй путь проще, так как левая часть уравнения легко преобразуется.

Сгруппируем первые три слагаемых. Они представляют собой формулу квадрата разности:

$x^2 - 6bx + 9b^2 = (x)^2 - 2 \cdot x \cdot (3b) + (3b)^2 = (x - 3b)^2$

Подставим это выражение обратно в исходное уравнение:

$(x - 3b)^2 - 16 = 0$

Теперь мы видим, что левая часть уравнения представляет собой разность квадратов $a^2 - c^2 = (a-c)(a+c)$, где $a = x - 3b$ и $c = 4$.

$(x - 3b - 4)(x - 3b + 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда мы можем найти два корня уравнения:

$x - 3b - 4 = 0 \implies x_1 = 3b + 4$

$x - 3b + 4 = 0 \implies x_2 = 3b - 4$

По условию задачи, оба корня должны быть отрицательными. Это означает, что $x_1 < 0$ и $x_2 < 0$. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 3b + 4 < 0 \\ 3b - 4 < 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности:

1) $3b + 4 < 0 \implies 3b < -4 \implies b < -\frac{4}{3}$

2) $3b - 4 < 0 \implies 3b < 4 \implies b < \frac{4}{3}$

Оба неравенства должны выполняться одновременно. Для этого нужно найти пересечение их решений. На числовой оси отметим точки $-\frac{4}{3}$ и $\frac{4}{3}$. Первое неравенство выполняется для всех $b$ левее $-\frac{4}{3}$, а второе — для всех $b$ левее $\frac{4}{3}$. Пересечением этих двух множеств является интервал, удовлетворяющий более сильному (строгому) неравенству.

Так как $-\frac{4}{3} < \frac{4}{3}$, то условие $b < -\frac{4}{3}$ автоматически обеспечивает выполнение условия $b < \frac{4}{3}$. Следовательно, решением системы является $b < -\frac{4}{3}$.

Ответ: $b \in (-\infty; -4/3)$.