Номер 992, страница 222 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

40. Решение систем неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 992, страница 222.

992. Решите двойное неравенство и укажите три числа, являющиеся его решениями:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}-6,5<\frac{7x+6}{2}\le 20,5\mathrm{/}·2 \\ -13<7x+6\le 41 \\ -19<7x\le 35 \\ -\frac{19}{7}<x\le 5 \\ -2\frac{5}{7}<x\le 5 \end{gathered}$$

Ответ: $(-2\frac{5}{7}; 5]; -2; 0; 2$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}-1<\frac{4-a}{3}\le 5 /·3 \\ -3<4-a\le 15 \\ -7<-a\le 11 \\ -11\le a<7 \end{gathered}$$

Ответ: [-11; 7); -11; -8; 6

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}-2\le \frac{3x-1}{8}\le 0 /·8 \\ -16\le 3x-1\le 0 \\ -15\le 3x\le 1 \\ -5\le x\le \frac{1}{3} \end{gathered}$$

Ответ: [-5; $\frac{1}{3}\backslash frac\{1\}\{3\}$]; -5; -3; 0

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}-2,5\le \frac{1-3y}{2}\le 1,5 /·2 \\ -5\le 1-3y\le 3 \\ -6\le -3y\le 2 \\ -\frac{2}{3}\le y\le 2 \end{gathered}$$

Ответ: [-$\frac{2}{3}\backslash frac\{2\}\{3\}$; 2]; 0; 1; 2

а) $-6,5 < \frac{7x + 6}{2} \le 20,5$

Чтобы решить двойное неравенство, выполним преобразования со всеми его тремя частями одновременно.

1. Умножим все части неравенства на 2:

$-6,5 \cdot 2 < \frac{7x + 6}{2} \cdot 2 \le 20,5 \cdot 2$

$-13 < 7x + 6 \le 41$

2. Вычтем 6 из всех частей неравенства:

$-13 - 6 < 7x + 6 - 6 \le 41 - 6$

$-19 < 7x \le 35$

3. Разделим все части неравенства на 7:

$-\frac{19}{7} < \frac{7x}{7} \le \frac{35}{7}$

$-2\frac{5}{7} < x \le 5$

Решением является интервал $(-2\frac{5}{7}; 5]$. Три числа, являющиеся решениями, например: -1, 0, 5.

Ответ: $-2\frac{5}{7} < x \le 5$. Три числа, являющиеся решениями: -1, 0, 5.

б) $-1 < \frac{4 - a}{3} \le 5$

1. Умножим все части неравенства на 3:

$-1 \cdot 3 < \frac{4 - a}{3} \cdot 3 \le 5 \cdot 3$

$-3 < 4 - a \le 15$

2. Вычтем 4 из всех частей неравенства:

$-3 - 4 < 4 - a - 4 \le 15 - 4$

$-7 < -a \le 11$

3. Умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-7 \cdot (-1) > -a \cdot (-1) \ge 11 \cdot (-1)$

$7 > a \ge -11$

Запишем в привычном виде, от меньшего числа к большему:

$-11 \le a < 7$

Решением является полуинтервал $[-11; 7)$. Три числа, являющиеся решениями, например: -11, 0, 6.

Ответ: $-11 \le a < 7$. Три числа, являющиеся решениями: -11, 0, 6.

в) $-2 \le \frac{3x - 1}{8} \le 0$

1. Умножим все части неравенства на 8:

$-2 \cdot 8 \le \frac{3x - 1}{8} \cdot 8 \le 0 \cdot 8$

$-16 \le 3x - 1 \le 0$

2. Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-16 + 1 \le 3x - 1 + 1 \le 0 + 1$

$-15 \le 3x \le 1$

3. Разделим все части неравенства на 3:

$\frac{-15}{3} \le \frac{3x}{3} \le \frac{1}{3}$

$-5 \le x \le \frac{1}{3}$

Решением является отрезок $[-5; \frac{1}{3}]$. Три числа, являющиеся решениями, например: -5, 0, $\frac{1}{3}$.

Ответ: $-5 \le x \le \frac{1}{3}$. Три числа, являющиеся решениями: -5, 0, $\frac{1}{3}$.

г) $-2,5 \le \frac{1 - 3y}{2} \le 1,5$

1. Умножим все части неравенства на 2:

$-2,5 \cdot 2 \le \frac{1 - 3y}{2} \cdot 2 \le 1,5 \cdot 2$

$-5 \le 1 - 3y \le 3$

2. Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-5 - 1 \le 1 - 3y - 1 \le 3 - 1$

$-6 \le -3y \le 2$

3. Разделим все части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-6}{-3} \ge \frac{-3y}{-3} \ge \frac{2}{-3}$

$2 \ge y \ge -\frac{2}{3}$

Запишем в привычном виде, от меньшего числа к большему:

$-\frac{2}{3} \le y \le 2$

Решением является отрезок $[-\frac{2}{3}; 2]$. Три числа, являющиеся решениями, например: 0, 1, 2.

Ответ: $-\frac{2}{3} \le y \le 2$. Три числа, являющиеся решениями: 0, 1, 2.