Номер 995, страница 222 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

40. Решение систем неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 995, страница 222.

995. При каких значениях а уравнение имеет два корня, принадлежащие промежутку (–6; 6)?

x² + 2ax + a² – 4 = 0

$$\begin{gathered} x^2+2ax+a^2-4=0 \\ D={\left(2a\right)}^2-4·1·\left(a^2-4\right)=4a^2-4a^2+16=16 \\ x=\frac{-2a\pm \sqrt{16}}{2}; x=\frac{-2a\pm 4}{2} \\ {x}_1=\frac{-2a+4}{2}=-a+2 \\ {x}_2=\frac{-2a-4}{2}=-a-2 \\ \left\{\begin{array}{c}-6<-a+2<6\\ -6<-a-2<6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}-8<-a<4\\ -4<-a<8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}-4<a<8\\ -8<a<4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: при 

Для решения задачи найдем корни данного квадратного уравнения и затем определим, при каких значениях параметра $a$ они попадают в заданный интервал.

Уравнение: $x^2 + 2ax + a^2 - 4 = 0$.

Можно заметить, что левая часть уравнения представляет собой разность квадратов, так как $x^2 + 2ax + a^2 = (x+a)^2$: $(x+a)^2 - 4 = 0$ $(x+a)^2 = 4$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем: $x+a = \pm 2$

Отсюда находим два корня уравнения: $x_1 = -a + 2$ $x_2 = -a - 2$

(Также можно было вычислить дискриминант $D = (2a)^2 - 4(a^2-4) = 16$, который всегда положителен, и найти корни по общей формуле).

Согласно условию, оба корня должны принадлежать промежутку $(-6; 6)$. Это означает, что должны одновременно выполняться два условия: $-6 < x_1 < 6$ и $-6 < x_2 < 6$.

Запишем эти условия в виде системы двойных неравенств: $$ \begin{cases} -6 < -a + 2 < 6 \\ -6 < -a - 2 < 6 \end{cases} $$

Решим первое неравенство системы: $-6 < -a + 2 < 6$ Вычтем 2 из всех частей: $-8 < -a < 4$ Умножим на -1, изменив знаки неравенства на противоположные: $8 > a > -4$, что равносильно $a \in (-4; 8)$.

Решим второе неравенство системы: $-6 < -a - 2 < 6$ Прибавим 2 ко всем частям: $-4 < -a < 8$ Умножим на -1, изменив знаки неравенства на противоположные: $4 > a > -8$, что равносильно $a \in (-8; 4)$.

Для выполнения обоих условий необходимо найти пересечение полученных интервалов для параметра $a$: $a \in (-4; 8) \cap (-8; 4)$.

Пересечением этих двух интервалов является интервал $(-4; 4)$.

Ответ: $a \in (-4; 4)$.