Номер 993, страница 222 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

40. Решение систем неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 993, страница 222.

993. Решите двойное неравенство:

a) -1≤15x+14<44

-15≤15x<30

-1≤x<2

Ответ: [-1; 2)

б) $-1\le \frac{6-a}{3}\le 1 /·3$

-3≤6-a≤3

-9≤-a≤-3

3≤a≤9

Ответ: [3; 9]

в) -1,2<1-2y<2,4

-2,2<-2y<1,4

-0,7<y<1,1

Ответ: (-0,7; 1,1)

г) $-2<\frac{4x-1}{3}\le 0 /·3$

-6<4x-1≤0

-5<4x≤1

$-1\frac{1}{4}<x⩽\frac{1}{4}$

Ответ: ($-1\frac{1}{4}; \frac{1}{4}$]

а)

Чтобы решить двойное неравенство $-1 \le 15x + 14 < 44$, будем выполнять тождественные преобразования над всеми его частями.

1. Вычтем 14 из каждой части неравенства, чтобы в средней части осталось только слагаемое с переменной $x$.
$-1 - 14 \le 15x + 14 - 14 < 44 - 14$
$-15 \le 15x < 30$

2. Разделим все части неравенства на 15. Так как 15 — положительное число, знаки неравенства сохраняются.
$\frac{-15}{15} \le \frac{15x}{15} < \frac{30}{15}$
$-1 \le x < 2$

Таким образом, решением неравенства является числовой промежуток от -1 (включительно) до 2 (не включительно).

Ответ: $[-1, 2)$.

б)

Решим двойное неравенство $-1 \le \frac{6 - a}{3} \le 1$.

1. Умножим все три части неравенства на 3, чтобы избавиться от знаменателя. Знак неравенства не изменится, так как 3 > 0.
$-1 \cdot 3 \le ( \frac{6 - a}{3} ) \cdot 3 \le 1 \cdot 3$
$-3 \le 6 - a \le 3$

2. Вычтем 6 из всех частей неравенства.
$-3 - 6 \le 6 - a - 6 \le 3 - 6$
$-9 \le -a \le -3$

3. Умножим все части на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.
$(-9) \cdot (-1) \ge (-a) \cdot (-1) \ge (-3) \cdot (-1)$
$9 \ge a \ge 3$

Для удобства записи перепишем неравенство в порядке возрастания чисел:
$3 \le a \le 9$

Решением является числовой промежуток от 3 до 9, включая концы.

Ответ: $[3, 9]$.

в)

Решим двойное неравенство $-1,2 < 1 - 2y < 2,4$.

1. Вычтем 1 из всех частей неравенства.
$-1,2 - 1 < 1 - 2y - 1 < 2,4 - 1$
$-2,2 < -2y < 1,4$

2. Разделим все части на -2. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.
$\frac{-2,2}{-2} > \frac{-2y}{-2} > \frac{1,4}{-2}$
$1,1 > y > -0,7$

Запишем ответ в стандартном виде (от меньшего к большему):
$-0,7 < y < 1,1$

Решением является интервал от -0,7 до 1,1.

Ответ: $(-0,7; 1,1)$.

г)

Решим двойное неравенство $-2 < \frac{4x - 1}{3} \le 0$.

1. Умножим все части неравенства на 3.
$-2 \cdot 3 < (\frac{4x - 1}{3}) \cdot 3 \le 0 \cdot 3$
$-6 < 4x - 1 \le 0$

2. Прибавим 1 ко всем частям неравенства.
$-6 + 1 < 4x - 1 + 1 \le 0 + 1$
$-5 < 4x \le 1$

3. Разделим все части неравенства на 4.
$\frac{-5}{4} < \frac{4x}{4} \le \frac{1}{4}$
$-\frac{5}{4} < x \le \frac{1}{4}$

Это же можно записать в виде десятичных дробей: $-1,25 < x \le 0,25$.

Решением является полуинтервал от -5/4 (не включительно) до 1/4 (включительно).

Ответ: $(-\frac{5}{4}, \frac{1}{4}]$.