Номер 1000, страница 223 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

40. Решение систем неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 1000, страница 223.

1000. Укажите допустимые значения переменной:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{\sqrt{12-25x}}{6} \\ 12-25x\ge 0 \\ 25x\le 12 \\ x\le \frac{12}{25} \\ x\le 0,48 \end{gathered}$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; 0,48]$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{1}{\sqrt{5x-11}} \\ 5x-11>0 \\ 5x>11 \\ x>\frac{11}{5} \\ x>2,2 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(2,2; +\mathrm{\infty }\right)(2,2;+\backslash infty)$

$\mathbf{\text{в) }}\frac{4x}{\sqrt{{\left(3x-2\right)}^2}}$

${\left(3x-2\right)}^2>0$ при любых х, кроме $x=\frac{2}{3}$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; \frac{2}{3}\right)\cup \left(\frac{2}{3}; +\mathrm{\infty }\right)(-\backslash infty;\; \backslash frac\{2\}\{3\})\; \backslash cup\; (\backslash frac\{2\}\{3\};+\backslash infty)$

а)

Допустимые значения переменной для данного выражения определяются условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, так как корень находится в числителе. Знаменатель является константой (6) и не равен нулю, поэтому на него ограничений нет.

Запишем и решим соответствующее неравенство:
$12 - 25x \geq 0$
Перенесем 12 в правую часть:
$-25x \geq -12$
Разделим обе части на -25, при этом знак неравенства меняется на противоположный:
$x \leq \frac{-12}{-25}$
$x \leq \frac{12}{25}$

Ответ: $x \leq \frac{12}{25}$.

б)

В этом выражении переменная находится под знаком квадратного корня в знаменателе. Это означает, что подкоренное выражение должно быть строго больше нуля (оно не может быть отрицательным из-за свойства корня и не может равняться нулю, так как находится в знаменателе).

Запишем и решим строгое неравенство:
$5x - 11 > 0$
Перенесем -11 в правую часть:
$5x > 11$
Разделим обе части на 5:
$x > \frac{11}{5}$

Ответ: $x > \frac{11}{5}$.

в)

Здесь переменная также находится в знаменателе под знаком квадратного корня. Подкоренное выражение $(3x-2)^2$ всегда неотрицательно (больше или равно нулю) для любого значения $x$, так как это квадрат. Следовательно, единственное ограничение состоит в том, что знаменатель не должен равняться нулю.

Запишем это условие:
$\sqrt{(3x-2)^2} \neq 0$
Так как $\sqrt{a^2} = |a|$, то $|3x-2| \neq 0$. Это эквивалентно следующему условию:
$3x - 2 \neq 0$
Перенесем -2 в правую часть:
$3x \neq 2$
Разделим обе части на 3:
$x \neq \frac{2}{3}$

Ответ: $x \neq \frac{2}{3}$.