Номер 4, страница 223 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 4, страница 223.

4. Что называется решением системы неравенств? Является ли решением системы неравенств $\left\{\begin{array}{c}2x + 1 > 3\\ 3x< 10\end{array}\right.$число 3? число 5? Что значит решить систему неравенств?

Определение. Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.

Число З является решением системы неравенств, так как
$\left\{\begin{array}{l}2·3+1>3\text{ — верно }\\ 3·3<10 \text{— верно}\end{array}\right.$

Число 5 не является решением системы неравенств, так как
$\left\{\begin{array}{l}2·5+1>3 \text{— верно} \\ 3·5<10 \text{— неверно}\end{array}\right.$

Решить систему - значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

Что называется решением системы неравенств?

Решением системы неравенств с одной переменной называется такое значение переменной, при подстановке которого каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство. Иными словами, это число, которое является решением каждого неравенства, входящего в систему.

Ответ: значение переменной, которое удовлетворяет каждому неравенству системы.

Является ли решением системы неравенств $\begin{cases} 2x + 1 > 3, \\ 3x < 10 \end{cases}$ число 3?

Чтобы проверить, является ли число 3 решением данной системы, необходимо подставить это значение вместо переменной $x$ в каждое неравенство и проверить, истинны ли полученные утверждения.

1. Проверяем первое неравенство: $2x + 1 > 3$.
Подставляем $x = 3$: $2 \cdot 3 + 1 > 3$.
$6 + 1 > 3$.
$7 > 3$.
Это верное неравенство.

2. Проверяем второе неравенство: $3x < 10$.
Подставляем $x = 3$: $3 \cdot 3 < 10$.
$9 < 10$.
Это также верное неравенство.

Поскольку число 3 удовлетворяет обоим неравенствам системы, оно является решением этой системы.

Ответ: да, является.

число 5?

Проверим, является ли число 5 решением той же системы неравенств. Для этого подставим значение $x = 5$ в каждое из неравенств.

1. Проверяем первое неравенство: $2x + 1 > 3$.
Подставляем $x = 5$: $2 \cdot 5 + 1 > 3$.
$10 + 1 > 3$.
$11 > 3$.
Это верное неравенство.

2. Проверяем второе неравенство: $3x < 10$.
Подставляем $x = 5$: $3 \cdot 5 < 10$.
$15 < 10$.
Это неверное неравенство.

Так как число 5 не удовлетворяет второму неравенству, оно не является решением всей системы. Напомним, что для того чтобы число было решением системы, оно должно удовлетворять каждому неравенству в ней.

Ответ: нет, не является.

Что значит решить систему неравенств?

Решить систему неравенств — это значит найти все её решения или доказать, что их не существует. Совокупность всех решений системы называется множеством решений. Чаще всего это множество представляет собой числовой промежуток (интервал, отрезок, луч), объединение нескольких таких промежутков или пустое множество (в случае отсутствия решений).

В качестве примера решим данную систему $\begin{cases} 2x + 1 > 3 \\ 3x < 10 \end{cases}$. Для этого нужно найти пересечение множеств решений каждого из неравенств:

1. $2x + 1 > 3 \implies 2x > 3 - 1 \implies 2x > 2 \implies x > 1$.

2. $3x < 10 \implies x < \frac{10}{3} \implies x < 3\frac{1}{3}$.

Решением системы является множество всех чисел $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $x > 1$ и $x < 3\frac{1}{3}$. Это можно записать в виде двойного неравенства $1 < x < 3\frac{1}{3}$ или в виде числового промежутка $(1; 3\frac{1}{3})$. Нахождение этого множества и есть решение системы неравенств.

Ответ: это значит найти множество всех значений переменной, которые удовлетворяют системе, или доказать, что таких значений не существует.