Номер 1004, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

41. Доказательство неравенств. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 1004, страница 226.

1004. Докажите неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{a}^2+b^2+4\ge 2\left(a+b+1\right) \\ {a}^2+b^2+4-2\left(a+b+1\right)=a^2+b^2+4-2a- \\ -2b-2=a^2+b^2-2a-2b+2=\left(a^2-2a+1\right)+ \\ +\left(b^2-2b+1\right)={\left(a-1\right)}^2+{\left(b-1\right)}^2\ge 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}4a^2+b^2\ge 4\left(a+b-2\right) \\ 4a^2+b^2-4\left(a+b-2\right)=4a^2+b^2-4a-4b+8= \\ =\left(4a^2-4a+1\right)+\left(b^2-4b+4\right)+3= \\ ={\left(2a-1\right)}^2+{\left(b-2\right)}^2+3>0 \end{gathered}$$

а) Для доказательства преобразуем исходное неравенство. Перенесём все члены из правой части в левую, изменив их знаки на противоположные:

$a^2 + b^2 + 4 \ge 2(a + b + 1)$

$a^2 + b^2 + 4 - 2a - 2b - 2 \ge 0$

$a^2 - 2a + b^2 - 2b + 2 \ge 0$

Теперь сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы можно было выделить полные квадраты. Для этого представим число 2 как сумму $1 + 1$:

$(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) \ge 0$

Используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, свернём выражения в скобках:

$(a - 1)^2 + (b - 1)^2 \ge 0$

Полученное неравенство является верным для любых действительных чисел $a$ и $b$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(a-1)^2 \ge 0$ и $(b-1)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также всегда неотрицательна. Таким образом, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Для доказательства преобразуем данное строгое неравенство. Сначала раскроем скобки в правой части, а затем перенесём все члены в левую часть:

$4a^2 + b^2 > 4(a + b - 2)$

$4a^2 + b^2 > 4a + 4b - 8$

$4a^2 - 4a + b^2 - 4b + 8 > 0$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты. Выражение $4a^2 - 4a$ можно дополнить до полного квадрата $(2a-1)^2 = 4a^2 - 4a + 1$. Выражение $b^2 - 4b$ можно дополнить до полного квадрата $(b-2)^2 = b^2 - 4b + 4$. Для этого представим свободный член 8 в виде суммы $1 + 4 + 3$:

$(4a^2 - 4a + 1) + (b^2 - 4b + 4) + 3 > 0$

Теперь свернём скобки в полные квадраты:

$(2a - 1)^2 + (b - 2)^2 + 3 > 0$

Выражения $(2a - 1)^2$ и $(b - 2)^2$ не могут быть отрицательными, так как являются квадратами действительных чисел. Их наименьшее значение равно 0. Таким образом, $(2a - 1)^2 \ge 0$ и $(b - 2)^2 \ge 0$.

Следовательно, сумма $(2a - 1)^2 + (b - 2)^2 \ge 0$. Если к этой неотрицательной сумме прибавить положительное число 3, результат всегда будет строго больше нуля:

$(2a - 1)^2 + (b - 2)^2 + 3 \ge 0 + 3 = 3$

Поскольку $3 > 0$, то и всё выражение слева всегда строго больше нуля. Это доказывает исходное неравенство.

Ответ: Неравенство доказано.