Номер 1003, страница 223 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

40. Решение систем неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 1003, страница 223.

1003. Велосипедист проехал 20 км по дороге, ведущей в гору, и 60 км по ровной местности, затратив на весь путь 6 ч. С какой скоростью ехал велосипедист на каждом участке пути, если известно, что в гору он ехал со скоростью, на 5 км/ч меньшей, чем по ровной местности?

Пусть х км/ч - скорость велосипедиста по ровной местности, тогда (х-5)км/ч - его скорость в гору. Зная, что в гору он проехал 20км, а по ровной местности 60км, затратив на весь путь 6ч, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{20}{x-5}+\frac{60}{x}=6 /·x\left(x-5\right) \\ 20x+60\left(x-5\right)=6x\left(x-5\right) \\ 20x+60x-300=6x^2-30x \\ 6x^2-30x-80x+300=0 \\ 6x^2-110x+300=0 /:2 \\ 3x^2-55x+150=0 \\ D={\left(-55\right)}^2-4·3·150=3025-1800=1225 \\ x=\frac{55\pm \sqrt{1225}}{6}; x=\frac{55\pm 35}{6} \\ {x}_1=15; x_2=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}=3\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Если $x=3\frac{1}{3}x=3\backslash frac\{1\}\{3\}$, то , что не удовлетворяет условию задачи x>0

15-5=10(км/ч) - скорость велосипедиста в гору

Ответ: 10 км/ч и 15 км/ч

Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста по ровной местности. Согласно условию задачи, его скорость в гору была на 5 км/ч меньше, следовательно, она равна $(x - 5)$ км/ч.

Время движения вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время, затраченное на путь в гору, составляет $t_1 = \frac{20}{x-5}$ часов.

Время, затраченное на путь по ровной местности, составляет $t_2 = \frac{60}{x}$ часов.

Общее время в пути равно 6 часам. Составим и решим уравнение, сложив время, затраченное на каждом участке:

$\frac{20}{x-5} + \frac{60}{x} = 6$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $x \neq 0$ и $x-5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$. Так как скорость не может быть отрицательной, и скорость в гору $(x-5)$ должна быть положительной, то $x > 5$.

Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю $x(x-5)$ и умножим на него обе части уравнения:

$20x + 60(x-5) = 6x(x-5)$

Раскроем скобки:

$20x + 60x - 300 = 6x^2 - 30x$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$80x - 300 = 6x^2 - 30x$

$6x^2 - 30x - 80x + 300 = 0$

$6x^2 - 110x + 300 = 0$

Для удобства вычислений разделим все члены уравнения на 2:

$3x^2 - 55x + 150 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-55)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 150 = 3025 - 1800 = 1225$

Найдем корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{55 + \sqrt{1225}}{2 \cdot 3} = \frac{55 + 35}{6} = \frac{90}{6} = 15$

$x_2 = \frac{55 - \sqrt{1225}}{2 \cdot 3} = \frac{55 - 35}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$

Теперь проверим полученные корни на соответствие ОДЗ ($x > 5$).

Корень $x_1 = 15$ удовлетворяет условию $15 > 5$.

Корень $x_2 = \frac{10}{3} \approx 3.33$ не удовлетворяет условию $x > 5$, так как при этом значении скорость в гору ($x-5$) была бы отрицательной. Следовательно, этот корень является посторонним.

Итак, скорость велосипедиста по ровной местности равна 15 км/ч.

Найдем скорость велосипедиста в гору:

$15 - 5 = 10$ км/ч.

Ответ: скорость велосипедиста в гору — 10 км/ч, по ровной местности — 15 км/ч.