Номер 999, страница 222 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

40. Решение систем неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 999, страница 222.

999. Решите систему неравенств:

a) $\left\{\begin{array}{l}3-2a<13\\ a-1>0\\ 5a-35<0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-2a<10\\ a>1\\ 5a<35\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}a>-5\\ a>1\\ a<7\end{array}\right.$

Ответ: (1; 7)

б) $\left\{\begin{array}{l}6-4a<2\\ 6-a>2\\ 3a-1<8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-4a<-4\\ -a>-4\\ 3a<9\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}a>1\\ a<4\\ a<3\end{array}\right.$

Ответ: (1; 3)

в) $\left\{\begin{array}{l}5a-8>7\\ 4-a<3\\ 2-3a>10\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}5a>15\\ -a<-1\\ -3a>8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}a>3\\ a>1\\ a<-\frac{8}{3}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}a>3\\ a>1\\ a<-2\frac{2}{3}\end{array}\right.$

Ответ: решений нет

а)

Для решения системы необходимо решить каждое неравенство по отдельности и найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство:

$3 - 2a < 13$

Вычтем 3 из обеих частей:

$-2a < 10$

Разделим обе части на -2 и сменим знак неравенства на противоположный:

$a > -5$

2. Решим второе неравенство:

$a - 1 > 0$

Прибавим 1 к обеим частям:

$a > 1$

3. Решим третье неравенство:

$5a - 35 < 0$

Прибавим 35 к обеим частям:

$5a < 35$

Разделим обе части на 5:

$a < 7$

Теперь найдем пересечение трех полученных условий: $a > -5$, $a > 1$ и $a < 7$.

Условие $a > 1$ является более строгим, чем $a > -5$. Следовательно, нам нужно найти значения $a$, удовлетворяющие одновременно условиям $a > 1$ и $a < 7$.

Это соответствует интервалу $(1, 7)$.

Ответ: $1 < a < 7$.

б)

Решим каждое неравенство системы по отдельности:

1. Решим первое неравенство:

$6 - 4a < 2$

$-4a < 2 - 6$

$-4a < -4$

$a > 1$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется)

2. Решим второе неравенство:

$6 - a > 2$

$-a > 2 - 6$

$-a > -4$

$a < 4$ (при умножении на -1 знак неравенства меняется)

3. Решим третье неравенство:

$3a - 1 < 8$

$3a < 8 + 1$

$3a < 9$

$a < 3$

Найдем пересечение полученных решений: $a > 1$, $a < 4$ и $a < 3$. Условие $a < 3$ является более строгим, чем $a < 4$. Таким образом, ищем пересечение $a > 1$ и $a < 3$, что дает интервал $(1, 3)$.

Ответ: $1 < a < 3$.

в)

Решим каждое неравенство системы по отдельности:

1. Решим первое неравенство:

$5a - 8 > 7$

$5a > 7 + 8$

$5a > 15$

$a > 3$

2. Решим второе неравенство:

$4 - a < 3$

$-a < 3 - 4$

$-a < -1$

$a > 1$ (при умножении на -1 знак неравенства меняется)

3. Решим третье неравенство:

$2 - 3a > 10$

$-3a > 10 - 2$

$-3a > 8$

$a < -\frac{8}{3}$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется)

Найдем пересечение полученных решений: $a > 3$, $a > 1$ и $a < -\frac{8}{3}$.

Условие $a > 3$ является более строгим, чем $a > 1$. Значит, система сводится к двум условиям: $a > 3$ и $a < -\frac{8}{3}$.

Поскольку $-\frac{8}{3} \approx -2.67$, не существует такого значения $a$, которое было бы одновременно больше 3 и меньше $-\frac{8}{3}$. Следовательно, пересечение этих множеств пустое, и система не имеет решений.

Ответ: решений нет.