Страница 222 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

992. Решите двойное неравенство и укажите три числа, являющиеся его решениями:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}-6,5<\frac{7x+6}{2}\le 20,5\mathrm{/}·2 \\ -13<7x+6\le 41 \\ -19<7x\le 35 \\ -\frac{19}{7}<x\le 5 \\ -2\frac{5}{7}<x\le 5 \end{gathered}$$

Ответ: $(-2\frac{5}{7}; 5]; -2; 0; 2$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}-1<\frac{4-a}{3}\le 5 /·3 \\ -3<4-a\le 15 \\ -7<-a\le 11 \\ -11\le a<7 \end{gathered}$$

Ответ: [-11; 7); -11; -8; 6

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}-2\le \frac{3x-1}{8}\le 0 /·8 \\ -16\le 3x-1\le 0 \\ -15\le 3x\le 1 \\ -5\le x\le \frac{1}{3} \end{gathered}$$

Ответ: [-5; $\frac{1}{3}\backslash frac\{1\}\{3\}$]; -5; -3; 0

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}-2,5\le \frac{1-3y}{2}\le 1,5 /·2 \\ -5\le 1-3y\le 3 \\ -6\le -3y\le 2 \\ -\frac{2}{3}\le y\le 2 \end{gathered}$$

Ответ: [-$\frac{2}{3}\backslash frac\{2\}\{3\}$; 2]; 0; 1; 2

а) $-6,5 < \frac{7x + 6}{2} \le 20,5$

Чтобы решить двойное неравенство, выполним преобразования со всеми его тремя частями одновременно.

1. Умножим все части неравенства на 2:

$-6,5 \cdot 2 < \frac{7x + 6}{2} \cdot 2 \le 20,5 \cdot 2$

$-13 < 7x + 6 \le 41$

2. Вычтем 6 из всех частей неравенства:

$-13 - 6 < 7x + 6 - 6 \le 41 - 6$

$-19 < 7x \le 35$

3. Разделим все части неравенства на 7:

$-\frac{19}{7} < \frac{7x}{7} \le \frac{35}{7}$

$-2\frac{5}{7} < x \le 5$

Решением является интервал $(-2\frac{5}{7}; 5]$. Три числа, являющиеся решениями, например: -1, 0, 5.

Ответ: $-2\frac{5}{7} < x \le 5$. Три числа, являющиеся решениями: -1, 0, 5.

б) $-1 < \frac{4 - a}{3} \le 5$

1. Умножим все части неравенства на 3:

$-1 \cdot 3 < \frac{4 - a}{3} \cdot 3 \le 5 \cdot 3$

$-3 < 4 - a \le 15$

2. Вычтем 4 из всех частей неравенства:

$-3 - 4 < 4 - a - 4 \le 15 - 4$

$-7 < -a \le 11$

3. Умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-7 \cdot (-1) > -a \cdot (-1) \ge 11 \cdot (-1)$

$7 > a \ge -11$

Запишем в привычном виде, от меньшего числа к большему:

$-11 \le a < 7$

Решением является полуинтервал $[-11; 7)$. Три числа, являющиеся решениями, например: -11, 0, 6.

Ответ: $-11 \le a < 7$. Три числа, являющиеся решениями: -11, 0, 6.

в) $-2 \le \frac{3x - 1}{8} \le 0$

1. Умножим все части неравенства на 8:

$-2 \cdot 8 \le \frac{3x - 1}{8} \cdot 8 \le 0 \cdot 8$

$-16 \le 3x - 1 \le 0$

2. Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-16 + 1 \le 3x - 1 + 1 \le 0 + 1$

$-15 \le 3x \le 1$

3. Разделим все части неравенства на 3:

$\frac{-15}{3} \le \frac{3x}{3} \le \frac{1}{3}$

$-5 \le x \le \frac{1}{3}$

Решением является отрезок $[-5; \frac{1}{3}]$. Три числа, являющиеся решениями, например: -5, 0, $\frac{1}{3}$.

Ответ: $-5 \le x \le \frac{1}{3}$. Три числа, являющиеся решениями: -5, 0, $\frac{1}{3}$.

г) $-2,5 \le \frac{1 - 3y}{2} \le 1,5$

1. Умножим все части неравенства на 2:

$-2,5 \cdot 2 \le \frac{1 - 3y}{2} \cdot 2 \le 1,5 \cdot 2$

$-5 \le 1 - 3y \le 3$

2. Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-5 - 1 \le 1 - 3y - 1 \le 3 - 1$

$-6 \le -3y \le 2$

3. Разделим все части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-6}{-3} \ge \frac{-3y}{-3} \ge \frac{2}{-3}$

$2 \ge y \ge -\frac{2}{3}$

Запишем в привычном виде, от меньшего числа к большему:

$-\frac{2}{3} \le y \le 2$

Решением является отрезок $[-\frac{2}{3}; 2]$. Три числа, являющиеся решениями, например: 0, 1, 2.

Ответ: $-\frac{2}{3} \le y \le 2$. Три числа, являющиеся решениями: 0, 1, 2.

993. Решите двойное неравенство:

a) -1≤15x+14<44

-15≤15x<30

-1≤x<2

Ответ: [-1; 2)

б) $-1\le \frac{6-a}{3}\le 1 /·3$

-3≤6-a≤3

-9≤-a≤-3

3≤a≤9

Ответ: [3; 9]

в) -1,2<1-2y<2,4

-2,2<-2y<1,4

-0,7<y<1,1

Ответ: (-0,7; 1,1)

г) $-2<\frac{4x-1}{3}\le 0 /·3$

-6<4x-1≤0

-5<4x≤1

$-1\frac{1}{4}<x⩽\frac{1}{4}$

Ответ: ($-1\frac{1}{4}; \frac{1}{4}$]

а)

Чтобы решить двойное неравенство $-1 \le 15x + 14 < 44$, будем выполнять тождественные преобразования над всеми его частями.

1. Вычтем 14 из каждой части неравенства, чтобы в средней части осталось только слагаемое с переменной $x$.
$-1 - 14 \le 15x + 14 - 14 < 44 - 14$
$-15 \le 15x < 30$

2. Разделим все части неравенства на 15. Так как 15 — положительное число, знаки неравенства сохраняются.
$\frac{-15}{15} \le \frac{15x}{15} < \frac{30}{15}$
$-1 \le x < 2$

Таким образом, решением неравенства является числовой промежуток от -1 (включительно) до 2 (не включительно).

Ответ: $[-1, 2)$.

б)

Решим двойное неравенство $-1 \le \frac{6 - a}{3} \le 1$.

1. Умножим все три части неравенства на 3, чтобы избавиться от знаменателя. Знак неравенства не изменится, так как 3 > 0.
$-1 \cdot 3 \le ( \frac{6 - a}{3} ) \cdot 3 \le 1 \cdot 3$
$-3 \le 6 - a \le 3$

2. Вычтем 6 из всех частей неравенства.
$-3 - 6 \le 6 - a - 6 \le 3 - 6$
$-9 \le -a \le -3$

3. Умножим все части на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.
$(-9) \cdot (-1) \ge (-a) \cdot (-1) \ge (-3) \cdot (-1)$
$9 \ge a \ge 3$

Для удобства записи перепишем неравенство в порядке возрастания чисел:
$3 \le a \le 9$

Решением является числовой промежуток от 3 до 9, включая концы.

Ответ: $[3, 9]$.

в)

Решим двойное неравенство $-1,2 < 1 - 2y < 2,4$.

1. Вычтем 1 из всех частей неравенства.
$-1,2 - 1 < 1 - 2y - 1 < 2,4 - 1$
$-2,2 < -2y < 1,4$

2. Разделим все части на -2. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.
$\frac{-2,2}{-2} > \frac{-2y}{-2} > \frac{1,4}{-2}$
$1,1 > y > -0,7$

Запишем ответ в стандартном виде (от меньшего к большему):
$-0,7 < y < 1,1$

Решением является интервал от -0,7 до 1,1.

Ответ: $(-0,7; 1,1)$.

г)

Решим двойное неравенство $-2 < \frac{4x - 1}{3} \le 0$.

1. Умножим все части неравенства на 3.
$-2 \cdot 3 < (\frac{4x - 1}{3}) \cdot 3 \le 0 \cdot 3$
$-6 < 4x - 1 \le 0$

2. Прибавим 1 ко всем частям неравенства.
$-6 + 1 < 4x - 1 + 1 \le 0 + 1$
$-5 < 4x \le 1$

3. Разделим все части неравенства на 4.
$\frac{-5}{4} < \frac{4x}{4} \le \frac{1}{4}$
$-\frac{5}{4} < x \le \frac{1}{4}$

Это же можно записать в виде десятичных дробей: $-1,25 < x \le 0,25$.

Решением является полуинтервал от -5/4 (не включительно) до 1/4 (включительно).

Ответ: $(-\frac{5}{4}, \frac{1}{4}]$.

994. а) При каких y значения двучлена 3y – 5 принадлежат промежутку (–1; 1)?

б) При каких b значения дроби 5 - 2b4 принадлежат промежутку [–2; 1]?

a) -1<3y-5<1

4<3y<6

Ответ: при

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}-2\le \frac{5-2b}{4}\le 1\mathrm{/}·4 \\ -8\le 5-2b\le 4 \\ -13\le -2b\le -1 \\ 0,5\le b\le 6,5 \end{gathered}$$

Ответ: при $0,5\le b\le 6,50,5\; \backslash le\; b\; \backslash le\; 6,5$

а) Чтобы найти значения y, при которых значения двучлена $3y - 5$ принадлежат промежутку $(-1; 1)$, необходимо решить двойное неравенство:

$-1 < 3y - 5 < 1$

Для решения этого неравенства сначала прибавим 5 ко всем его частям:

$-1 + 5 < 3y - 5 + 5 < 1 + 5$

$4 < 3y < 6$

Теперь разделим все части неравенства на 3:

$\frac{4}{3} < y < \frac{6}{3}$

Упростив, получаем:

$\frac{4}{3} < y < 2$

Это означает, что y должен находиться в интервале от $\frac{4}{3}$ до 2, не включая концы.

Ответ: $y \in (\frac{4}{3}; 2)$.

б) Чтобы найти значения b, при которых значения дроби $\frac{5 - 2b}{4}$ принадлежат промежутку $[-2; 1]$, составим и решим двойное неравенство:

$-2 \le \frac{5 - 2b}{4} \le 1$

Сначала умножим все части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$-2 \cdot 4 \le 5 - 2b \le 1 \cdot 4$

$-8 \le 5 - 2b \le 4$

Далее вычтем 5 из всех частей неравенства:

$-8 - 5 \le -2b \le 4 - 5$

$-13 \le -2b \le -1$

Теперь разделим все части неравенства на -2. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-13}{-2} \ge b \ge \frac{-1}{-2}$

$\frac{13}{2} \ge b \ge \frac{1}{2}$

Запишем результат в стандартном виде, от меньшего числа к большему:

$\frac{1}{2} \le b \le \frac{13}{2}$

Это означает, что b должен находиться в отрезке от $\frac{1}{2}$ до $\frac{13}{2}$, включая концы.

Ответ: $b \in [\frac{1}{2}; \frac{13}{2}]$.

995. При каких значениях а уравнение имеет два корня, принадлежащие промежутку (–6; 6)?

x² + 2ax + a² – 4 = 0

$$\begin{gathered} x^2+2ax+a^2-4=0 \\ D={\left(2a\right)}^2-4·1·\left(a^2-4\right)=4a^2-4a^2+16=16 \\ x=\frac{-2a\pm \sqrt{16}}{2}; x=\frac{-2a\pm 4}{2} \\ {x}_1=\frac{-2a+4}{2}=-a+2 \\ {x}_2=\frac{-2a-4}{2}=-a-2 \\ \left\{\begin{array}{c}-6<-a+2<6\\ -6<-a-2<6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}-8<-a<4\\ -4<-a<8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}-4<a<8\\ -8<a<4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: при 

Для решения задачи найдем корни данного квадратного уравнения и затем определим, при каких значениях параметра $a$ они попадают в заданный интервал.

Уравнение: $x^2 + 2ax + a^2 - 4 = 0$.

Можно заметить, что левая часть уравнения представляет собой разность квадратов, так как $x^2 + 2ax + a^2 = (x+a)^2$: $(x+a)^2 - 4 = 0$ $(x+a)^2 = 4$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем: $x+a = \pm 2$

Отсюда находим два корня уравнения: $x_1 = -a + 2$ $x_2 = -a - 2$

(Также можно было вычислить дискриминант $D = (2a)^2 - 4(a^2-4) = 16$, который всегда положителен, и найти корни по общей формуле).

Согласно условию, оба корня должны принадлежать промежутку $(-6; 6)$. Это означает, что должны одновременно выполняться два условия: $-6 < x_1 < 6$ и $-6 < x_2 < 6$.

Запишем эти условия в виде системы двойных неравенств: $$ \begin{cases} -6 < -a + 2 < 6 \\ -6 < -a - 2 < 6 \end{cases} $$

Решим первое неравенство системы: $-6 < -a + 2 < 6$ Вычтем 2 из всех частей: $-8 < -a < 4$ Умножим на -1, изменив знаки неравенства на противоположные: $8 > a > -4$, что равносильно $a \in (-4; 8)$.

Решим второе неравенство системы: $-6 < -a - 2 < 6$ Прибавим 2 ко всем частям: $-4 < -a < 8$ Умножим на -1, изменив знаки неравенства на противоположные: $4 > a > -8$, что равносильно $a \in (-8; 4)$.

Для выполнения обоих условий необходимо найти пересечение полученных интервалов для параметра $a$: $a \in (-4; 8) \cap (-8; 4)$.

Пересечением этих двух интервалов является интервал $(-4; 4)$.

Ответ: $a \in (-4; 4)$.

996. При каких значениях b уравнение имеет два отрицательных корня?

x² – 6bx + 9b² – 16 = 0

$$\begin{gathered} x^2-6bx+9b^2-16=0 \\ D={\left(-6b\right)}^2-4·1·\left(9b^2-16\right)= \\ =36b^2-36b^2+64=64 \\ x=\frac{6b\pm \sqrt{64}}{2}; x=\frac{6b\pm 8}{2} \\ {x}_1=\frac{6b+8}{2}=3b+4 \\ {x}_2=\frac{6b-8}{2}=3b-4 \\ \left\{\begin{array}{l}3b+4<0\\ 3b-4<0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3b<-4\\ 3b<4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b<-\frac{4}{3}\\ b<\frac{4}{3}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b<-1\frac{1}{3}\\ b<1\frac{1}{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: при

Данное уравнение $x^2 - 6bx + 9b^2 - 16 = 0$ является квадратным относительно переменной $x$. Чтобы найти значения параметра $b$, при которых уравнение имеет два отрицательных корня, можно пойти двумя путями: через анализ дискриминанта и теорему Виета или через прямое нахождение корней. В данном случае второй путь проще, так как левая часть уравнения легко преобразуется.

Сгруппируем первые три слагаемых. Они представляют собой формулу квадрата разности:

$x^2 - 6bx + 9b^2 = (x)^2 - 2 \cdot x \cdot (3b) + (3b)^2 = (x - 3b)^2$

Подставим это выражение обратно в исходное уравнение:

$(x - 3b)^2 - 16 = 0$

Теперь мы видим, что левая часть уравнения представляет собой разность квадратов $a^2 - c^2 = (a-c)(a+c)$, где $a = x - 3b$ и $c = 4$.

$(x - 3b - 4)(x - 3b + 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда мы можем найти два корня уравнения:

$x - 3b - 4 = 0 \implies x_1 = 3b + 4$

$x - 3b + 4 = 0 \implies x_2 = 3b - 4$

По условию задачи, оба корня должны быть отрицательными. Это означает, что $x_1 < 0$ и $x_2 < 0$. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 3b + 4 < 0 \\ 3b - 4 < 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности:

1) $3b + 4 < 0 \implies 3b < -4 \implies b < -\frac{4}{3}$

2) $3b - 4 < 0 \implies 3b < 4 \implies b < \frac{4}{3}$

Оба неравенства должны выполняться одновременно. Для этого нужно найти пересечение их решений. На числовой оси отметим точки $-\frac{4}{3}$ и $\frac{4}{3}$. Первое неравенство выполняется для всех $b$ левее $-\frac{4}{3}$, а второе — для всех $b$ левее $\frac{4}{3}$. Пересечением этих двух множеств является интервал, удовлетворяющий более сильному (строгому) неравенству.

Так как $-\frac{4}{3} < \frac{4}{3}$, то условие $b < -\frac{4}{3}$ автоматически обеспечивает выполнение условия $b < \frac{4}{3}$. Следовательно, решением системы является $b < -\frac{4}{3}$.

Ответ: $b \in (-\infty; -4/3)$.

997. Решите систему неравенств:

a) $\left\{\begin{array}{l}x>8\\ x>7\\ x>-4\end{array}\right.$

Ответ: $\left(8; +\mathrm{\infty }\right)(8;+\backslash infty)$

б) $\left\{\begin{array}{l}y<-1\\ y<-5\\ y<4\end{array}\right.$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; -5\right)(-\backslash infty;\; -5)$

в) $\left\{\begin{array}{l}m>9\\ m>10\\ m<12\end{array}\right.$

Ответ: $\left(10; 12\right)(10;\; 12)$

г) $\left\{\begin{array}{l}q<6\\ q<5\\ q<1\end{array}\right.$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; 1\right)(-\backslash infty;\; 1)$

а) Чтобы решить систему неравенств $ \begin{cases} x > 8, \\ x > 7, \\ x > -4; \end{cases} $ , необходимо найти пересечение множеств решений каждого из неравенств. Решением является множество значений $x$, которые удовлетворяют всем трем условиям одновременно. Если число больше 8, то оно автоматически будет больше 7 и больше -4. Следовательно, наиболее строгим является первое неравенство. Таким образом, пересечение множеств решений всех трех неравенств совпадает с решением неравенства $x > 8$.
Ответ: $x > 8$.

б) Чтобы решить систему неравенств $ \begin{cases} y < -1, \\ y < -5, \\ y < 4; \end{cases} $ , необходимо найти пересечение множеств решений каждого из неравенств. Решением является множество значений $y$, которые удовлетворяют всем трем условиям одновременно. Если число меньше -5, то оно автоматически будет меньше -1 и меньше 4. Следовательно, наиболее строгим является неравенство $y < -5$. Таким образом, пересечение множеств решений всех трех неравенств совпадает с решением неравенства $y < -5$.
Ответ: $y < -5$.

в) Чтобы решить систему неравенств $ \begin{cases} m > 9, \\ m > 10, \\ m < 12; \end{cases} $ , необходимо найти пересечение множеств решений каждого из неравенств. Сначала рассмотрим первые два неравенства: $m > 9$ и $m > 10$. Их общее решение — это $m > 10$, так как любое число, большее 10, автоматически больше 9. Теперь необходимо учесть третье неравенство: $m < 12$. Таким образом, мы ищем значения $m$, которые одновременно больше 10 и меньше 12. Это можно записать в виде двойного неравенства.
Ответ: $10 < m < 12$.

г) Чтобы решить систему неравенств $ \begin{cases} q < 6, \\ q < 5, \\ q < 1. \end{cases} $ , необходимо найти пересечение множеств решений каждого из неравенств. Решением является множество значений $q$, которые удовлетворяют всем трем условиям одновременно. Если число меньше 1, то оно автоматически будет меньше 5 и меньше 6. Следовательно, наиболее строгим является неравенство $q < 1$. Таким образом, пересечение множеств решений всех трех неравенств совпадает с решением неравенства $q < 1$.
Ответ: $q < 1$.

998. Решите систему неравенств:

а) $\left\{\begin{array}{l}x-4<8\\ 2x+5<13\\ 3-x>1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<12\\ 2x<8\\ -x>-2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<12\\ x<4\\ x<2\end{array}\right.$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; 2\right)(-\backslash infty;2)$

б) $\left\{\begin{array}{l}2x-1<x+3\\ 5x-1>6-2x\\ x-5<0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x-x<4\\ 5x+2x>7\\ x<5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<4\\ 7x>7\\ x<5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<4\\ x>1\\ x<5\end{array}\right.$

Ответ: (1; 4)

а) Для решения системы необходимо решить каждое неравенство по отдельности и найти пересечение их решений.

$\begin{cases} x - 4 < 8, \\ 2x + 5 < 13, \\ 3 - x > 1; \end{cases}$

1) Решим первое неравенство:

$x - 4 < 8$

$x < 8 + 4$

$x < 12$

2) Решим второе неравенство:

$2x + 5 < 13$

$2x < 13 - 5$

$2x < 8$

$x < 4$

3) Решим третье неравенство:

$3 - x > 1$

$-x > 1 - 3$

$-x > -2$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$x < 2$

Теперь необходимо найти пересечение решений всех трех неравенств: $x < 12$, $x < 4$ и $x < 2$. Общим решением, удовлетворяющим всем трем условиям, является самое строгое из них, то есть $x < 2$. На числовой прямой это пересечение интервалов $(-\infty; 12)$, $(-\infty; 4)$ и $(-\infty; 2)$, что дает интервал $(-\infty; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

б) Для решения системы необходимо решить каждое неравенство по отдельности и найти пересечение их решений.

$\begin{cases} 2x - 1 < x + 3, \\ 5x - 1 > 6 - 2x, \\ x - 5 < 0; \end{cases}$

1) Решим первое неравенство:

$2x - 1 < x + 3$

$2x - x < 3 + 1$

$x < 4$

2) Решим второе неравенство:

$5x - 1 > 6 - 2x$

$5x + 2x > 6 + 1$

$7x > 7$

$x > 1$

3) Решим третье неравенство:

$x - 5 < 0$

$x < 5$

Найдем пересечение полученных решений: $x < 4$, $x > 1$ и $x < 5$. Это можно представить как пересечение интервалов $(-\infty; 4)$, $(1; +\infty)$ и $(-\infty; 5)$.

Пересечение интервалов $(-\infty; 4)$ и $(-\infty; 5)$ дает интервал $(-\infty; 4)$.

Теперь найдем пересечение результата с оставшимся интервалом: $(-\infty; 4) \cap (1; +\infty)$.

Результатом является интервал $(1; 4)$, что эквивалентно двойному неравенству $1 < x < 4$.

Ответ: $x \in (1; 4)$.

999. Решите систему неравенств:

a) $\left\{\begin{array}{l}3-2a<13\\ a-1>0\\ 5a-35<0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-2a<10\\ a>1\\ 5a<35\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}a>-5\\ a>1\\ a<7\end{array}\right.$

Ответ: (1; 7)

б) $\left\{\begin{array}{l}6-4a<2\\ 6-a>2\\ 3a-1<8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-4a<-4\\ -a>-4\\ 3a<9\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}a>1\\ a<4\\ a<3\end{array}\right.$

Ответ: (1; 3)

в) $\left\{\begin{array}{l}5a-8>7\\ 4-a<3\\ 2-3a>10\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}5a>15\\ -a<-1\\ -3a>8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}a>3\\ a>1\\ a<-\frac{8}{3}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}a>3\\ a>1\\ a<-2\frac{2}{3}\end{array}\right.$

Ответ: решений нет

а)

Для решения системы необходимо решить каждое неравенство по отдельности и найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство:

$3 - 2a < 13$

Вычтем 3 из обеих частей:

$-2a < 10$

Разделим обе части на -2 и сменим знак неравенства на противоположный:

$a > -5$

2. Решим второе неравенство:

$a - 1 > 0$

Прибавим 1 к обеим частям:

$a > 1$

3. Решим третье неравенство:

$5a - 35 < 0$

Прибавим 35 к обеим частям:

$5a < 35$

Разделим обе части на 5:

$a < 7$

Теперь найдем пересечение трех полученных условий: $a > -5$, $a > 1$ и $a < 7$.

Условие $a > 1$ является более строгим, чем $a > -5$. Следовательно, нам нужно найти значения $a$, удовлетворяющие одновременно условиям $a > 1$ и $a < 7$.

Это соответствует интервалу $(1, 7)$.

Ответ: $1 < a < 7$.

б)

Решим каждое неравенство системы по отдельности:

1. Решим первое неравенство:

$6 - 4a < 2$

$-4a < 2 - 6$

$-4a < -4$

$a > 1$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется)

2. Решим второе неравенство:

$6 - a > 2$

$-a > 2 - 6$

$-a > -4$

$a < 4$ (при умножении на -1 знак неравенства меняется)

3. Решим третье неравенство:

$3a - 1 < 8$

$3a < 8 + 1$

$3a < 9$

$a < 3$

Найдем пересечение полученных решений: $a > 1$, $a < 4$ и $a < 3$. Условие $a < 3$ является более строгим, чем $a < 4$. Таким образом, ищем пересечение $a > 1$ и $a < 3$, что дает интервал $(1, 3)$.

Ответ: $1 < a < 3$.

в)

Решим каждое неравенство системы по отдельности:

1. Решим первое неравенство:

$5a - 8 > 7$

$5a > 7 + 8$

$5a > 15$

$a > 3$

2. Решим второе неравенство:

$4 - a < 3$

$-a < 3 - 4$

$-a < -1$

$a > 1$ (при умножении на -1 знак неравенства меняется)

3. Решим третье неравенство:

$2 - 3a > 10$

$-3a > 10 - 2$

$-3a > 8$

$a < -\frac{8}{3}$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется)

Найдем пересечение полученных решений: $a > 3$, $a > 1$ и $a < -\frac{8}{3}$.

Условие $a > 3$ является более строгим, чем $a > 1$. Значит, система сводится к двум условиям: $a > 3$ и $a < -\frac{8}{3}$.

Поскольку $-\frac{8}{3} \approx -2.67$, не существует такого значения $a$, которое было бы одновременно больше 3 и меньше $-\frac{8}{3}$. Следовательно, пересечение этих множеств пустое, и система не имеет решений.

Ответ: решений нет.