Страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

975. Решите систему неравенств:

a) $\left\{\begin{array}{c}rowspacing="0,36em"\; columnalign="left\; left"\; columnspacing="1em">x>17\\ x>12\end{array}\right.$

Ответ: (17; +∞)

б) $\left\{\begin{array}{c}rowspacing="0,36em"\; columnalign="left\; left"\; columnspacing="1em">x<1\\ x<5\end{array}\right.$

Ответ: (-∞; 1)

в) $\left\{\begin{array}{c}rowspacing="0,36em"\; columnalign="left\; left"\; columnspacing="1em">x>0\\ x<6\end{array}\right.$

Ответ: (0; 6)

г) $\left\{\begin{array}{l}x<-\mathrm{3,5}\\ x>8\end{array}\right.$

Ответ: решений нет

д) $\left\{\begin{array}{l}x\ge -1\\ x\le 3\end{array}\right.$

Ответ: [-1; 3]

е) $\left\{\begin{array}{l}x>8\\ x\le 20\end{array}\right.$

Ответ: (8; 20]

Решение системы неравенств заключается в нахождении множества значений переменной, которые удовлетворяют каждому неравенству в системе. Это множество является пересечением множеств решений каждого из неравенств.

Дана система: $\begin{cases} x > 17, \\ x > 12; \end{cases}$
Первое неравенство $x > 17$ означает, что $x$ принадлежит интервалу $(17, +\infty)$.
Второе неравенство $x > 12$ означает, что $x$ принадлежит интервалу $(12, +\infty)$.
Решением системы будет пересечение этих двух интервалов. Чтобы число удовлетворяло обоим условиям, оно должно быть больше и 17, и 12. Более строгим является условие $x > 17$, так как если число больше 17, оно автоматически больше 12. Таким образом, решением системы является интервал, где $x$ строго больше 17.

Ответ: $(17, +\infty)$.

Дана система: $\begin{cases} x < 1, \\ x < 5; \end{cases}$
Первое неравенство $x < 1$ означает, что $x$ принадлежит интервалу $(-\infty, 1)$.
Второе неравенство $x < 5$ означает, что $x$ принадлежит интервалу $(-\infty, 5)$.
Решением системы является пересечение этих интервалов. Чтобы число удовлетворяло обоим условиям, оно должно быть меньше и 1, и 5. Более строгим является условие $x < 1$, так как если число меньше 1, оно автоматически меньше 5. Следовательно, решением является интервал, где $x$ строго меньше 1.

Ответ: $(-\infty, 1)$.

Дана система: $\begin{cases} x > 0, \\ x < 6; \end{cases}$
Первое неравенство $x > 0$ задает интервал $(0, +\infty)$.
Второе неравенство $x < 6$ задает интервал $(-\infty, 6)$.
Решением системы является пересечение этих двух интервалов. Нам нужны числа, которые одновременно больше 0 и меньше 6. Это можно записать в виде двойного неравенства: $0 < x < 6$.

Ответ: $(0, 6)$.

Дана система: $\begin{cases} x < -3,5, \\ x > 8; \end{cases}$
Первое неравенство $x < -3,5$ задает интервал $(-\infty, -3,5)$.
Второе неравенство $x > 8$ задает интервал $(8, +\infty)$.
Необходимо найти числа, которые одновременно меньше -3,5 и больше 8. Таких чисел не существует, поскольку эти два интервала не имеют общих точек. Пересечение этих множеств пусто.

Ответ: $\emptyset$ (нет решений).

Дана система: $\begin{cases} x \ge -1, \\ x \le 3; \end{cases}$
Первое неравенство $x \ge -1$ задает числовой луч $[-1, +\infty)$.
Второе неравенство $x \le 3$ задает числовой луч $(-\infty, 3]$.
Решением системы является пересечение этих множеств. Это все числа, которые больше или равны -1 и одновременно меньше или равны 3. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-1 \le x \le 3$.

Ответ: $[-1, 3]$.

Дана система: $\begin{cases} x > 8, \\ x \le 20. \end{cases}$
Первое неравенство $x > 8$ задает интервал $(8, +\infty)$.
Второе неравенство $x \le 20$ задает числовой луч $(-\infty, 20]$.
Решением системы является пересечение этих множеств. Это все числа, которые строго больше 8 и одновременно меньше или равны 20. Это можно записать в виде двойного неравенства: $8 < x \le 20$.

Ответ: $(8, 20]$.

976. Решите систему неравенств:

a) $\left\{\begin{array}{l}2x-12>0\\ 3x>9\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x>12\\ x>3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x>6\\ x>3\end{array}\right.$

Ответ: (6;+$\mathrm{\infty }\backslash infty$)

б) $\left\{\begin{array}{c}4y<-4\\ 5-y>0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y<-1\\ y<5\end{array}\right.$

Ответ: (-$\mathrm{\infty }\backslash infty$;-1)

в) $\left\{\begin{array}{l}3x-10<0\\ 2x>0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3x<10\\ x>0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<\frac{10}{3}\\ x>0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<3\frac{1}{3}\\ x>0\end{array}\right.$

Oтвет: (0; 3$\frac{1}{3}\backslash frac\{1\}\{3\}$)

г) $\left\{\begin{array}{l}6y\ge 42\\ 4y+12\le 0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y\ge 7\\ 4y\le -12\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y\ge 7\\ y\le -3\end{array}\right.$

Ответ: решений нет

а) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2x - 12 > 0, \\ 3x > 9. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$2x - 12 > 0$

$2x > 12$

$x > \frac{12}{2}$

$x > 6$

2. Решим второе неравенство:

$3x > 9$

$x > \frac{9}{3}$

$x > 3$

3. Найдем пересечение решений. Решением системы являются значения $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам: $x > 6$ и $x > 3$. Если число больше 6, оно автоматически больше 3. Следовательно, общее решение — это $x > 6$.

Таким образом, решение системы – это интервал $(6, +\infty)$.

Ответ: $x \in (6, +\infty)$.

б) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 4y < -4, \\ 5 - y > 0. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$4y < -4$

$y < \frac{-4}{4}$

$y < -1$

2. Решим второе неравенство:

$5 - y > 0$

$-y > -5$

При умножении обеих частей на -1 знак неравенства меняется на противоположный:

$y < 5$

3. Найдем пересечение решений. Решением системы являются значения $y$, которые удовлетворяют обоим неравенствам: $y < -1$ и $y < 5$. Если число меньше -1, оно автоматически меньше 5. Следовательно, общее решение — это $y < -1$.

Таким образом, решение системы – это интервал $(-\infty, -1)$.

Ответ: $y \in (-\infty, -1)$.

в) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3x - 10 < 0, \\ 2x > 0. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$3x - 10 < 0$

$3x < 10$

$x < \frac{10}{3}$

2. Решим второе неравенство:

$2x > 0$

$x > 0$

3. Найдем пересечение решений. Решением системы являются значения $x$, которые одновременно больше 0 и меньше $\frac{10}{3}$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $0 < x < \frac{10}{3}$.

Таким образом, решение системы – это интервал $(0, \frac{10}{3})$.

Ответ: $x \in (0, \frac{10}{3})$.

г) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 6y \ge 42, \\ 4y + 12 \le 0. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$6y \ge 42$

$y \ge \frac{42}{6}$

$y \ge 7$

2. Решим второе неравенство:

$4y + 12 \le 0$

$4y \le -12$

$y \le \frac{-12}{4}$

$y \le -3$

3. Найдем пересечение решений. Нам нужны значения $y$, которые одновременно больше или равны 7 ($y \ge 7$) и меньше или равны -3 ($y \le -3$). Не существует таких чисел, которые бы удовлетворяли обоим условиям одновременно. Следовательно, пересечение множеств решений пустое.

Ответ: решений нет.

977. Решите систему неравенств и укажите несколько чисел, являющихся её решениями:

a) $\left\{\begin{array}{l}x-0,8>0\\ -5x<10\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x>0,8\\ x>-2\end{array}\right.$

Ответ: $\left(0,8; +\mathrm{\infty }\right)(0,8;+\backslash infty)$ 1; 25; 76,8

б) $\left\{\begin{array}{c}2-x\le 0\\ x-4\le 0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x\ge 2\\ x\le 4\end{array}\right.$

Ответ: $[2; 4][2;4]$ 2; 3; 4

в) $\left\{\begin{array}{l}1>3x\\ 5x-1>0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x<\frac{1}{3}\\ 5x>1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x<\frac{1}{3}\\ x>\frac{1}{5}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x<\frac{5}{15}\\ x>\frac{3}{15}\end{array}\right.$

Ответ: $\left(\frac{1}{5}; \frac{1}{3}\right)(\backslash frac\{1\}\{5\};\backslash frac\{1\}\{3\})$; $\frac{4}{15}\backslash frac\{4\}\{15\}; \frac{7}{30}\backslash frac\{7\}\{30\}$; 0,3

г) $\left\{\begin{array}{c}10x<2\\ x>0,1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x<0,2\\ x>0,1\end{array}\right.$

Ответ: (0,1; 0,2); 0,15; 0;16; 0,19

а) Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} x - 0,8 > 0 \\ -5x < 10 \end{cases} $
Решим первое неравенство: $x - 0,8 > 0 \implies x > 0,8$.
Решим второе неравенство: $-5x < 10$. При делении обеих частей на -5 знак неравенства меняется на противоположный: $x > \frac{10}{-5} \implies x > -2$.
Решением системы является пересечение полученных множеств: $x > 0,8$ и $x > -2$. Это соответствует промежутку $x > 0,8$.
Ответ: $x \in (0,8; +\infty)$. Примеры решений: 1, 2, 10.

б) Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} 2 - x \le 0 \\ x - 4 \le 0 \end{cases} $
Решим первое неравенство: $2 - x \le 0 \implies 2 \le x$, что то же самое, что и $x \ge 2$.
Решим второе неравенство: $x - 4 \le 0 \implies x \le 4$.
Решением системы является пересечение полученных множеств: $x \ge 2$ и $x \le 4$. Это соответствует отрезку $2 \le x \le 4$.
Ответ: $x \in [2; 4]$. Примеры решений: 2, 3, 4.

в) Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} 1 > 3x \\ 5x - 1 > 0 \end{cases} $
Решим первое неравенство: $1 > 3x \implies 3x < 1 \implies x < \frac{1}{3}$.
Решим второе неравенство: $5x - 1 > 0 \implies 5x > 1 \implies x > \frac{1}{5}$.
Решением системы является пересечение полученных множеств: $x > \frac{1}{5}$ и $x < \frac{1}{3}$. Это соответствует интервалу $\frac{1}{5} < x < \frac{1}{3}$.
Ответ: $x \in (\frac{1}{5}; \frac{1}{3})$. Примеры решений: 0.25, 0.3.

г) Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} 10x < 2 \\ x > 0,1 \end{cases} $
Решим первое неравенство: $10x < 2 \implies x < \frac{2}{10} \implies x < 0,2$.
Второе неравенство: $x > 0,1$.
Решением системы является пересечение полученных множеств: $x > 0,1$ и $x < 0,2$. Это соответствует интервалу $0,1 < x < 0,2$.
Ответ: $x \in (0,1; 0,2)$. Примеры решений: 0.11, 0.15, 0.19.

978. Решите систему неравенств:

a) $\left\{\begin{array}{l}0,4x-1\le 0\\ 2,3x\ge 4,6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}0,4x\le 1\\ x\ge 2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\le \frac{1}{0,4}\\ x\ge 2\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x\le \frac{10}{4}\\ x\ge 2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\le 2,5\\ x\ge 2\end{array}\right.$

Ответ: [2; 2,5]

б) $\left\{\begin{array}{l}0,7x-2,1<0\\ \frac{2}{3}x>1 /·3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}0,7x<2,1\\ 2x>3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<3\\ x>1,5\end{array}\right.$

Ответ: (1,5; 3)

в) $\left\{\begin{array}{l}0,3x>4\\ 0,2x+1<6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>\frac{4}{0,3}\\ 0,2x<5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x>\frac{40}{3}\\ x<\frac{5}{0,2}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>13\frac{1}{3}\\ x<25\end{array}\right.$

Ответ: $\left(13\frac{1}{3}; 25\right)(13\backslash frac\{1\}\{3\};\; 25)$

г) $\left\{\begin{array}{l}\frac{5}{6}x-10\le 0\\ 3x\le 1\frac{1}{3}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\frac{5}{6}x\le 10\mathrm{/}·6\\ 3x\le \frac{4}{3}\mathrm{/}·3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}5x\le 60\\ 9x\le 4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x\le 12\\ x\le \frac{4}{9}\end{array}\right.$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; \frac{4}{9}]$

а) Решим каждое неравенство системы по отдельности.
Первое неравенство:
$0,4x - 1 \le 0$
$0,4x \le 1$
$x \le \frac{1}{0,4}$
$x \le 2,5$
Второе неравенство:
$2,3x \ge 4,6$
$x \ge \frac{4,6}{2,3}$
$x \ge 2$
Теперь найдем пересечение полученных решений: $x \ge 2$ и $x \le 2,5$.
Общим решением является числовой промежуток, в котором выполняются оба условия, то есть $2 \le x \le 2,5$.
Ответ: $[2; 2,5]$

б) Решим каждое неравенство системы по отдельности.
Первое неравенство:
$0,7x - 2,1 < 0$
$0,7x < 2,1$
$x < \frac{2,1}{0,7}$
$x < 3$
Второе неравенство:
$\frac{2}{3}x > 1$
$x > 1 \div \frac{2}{3}$
$x > 1 \cdot \frac{3}{2}$
$x > 1,5$
Теперь найдем пересечение полученных решений: $x > 1,5$ и $x < 3$.
Общим решением является числовой промежуток, в котором выполняются оба условия, то есть $1,5 < x < 3$.
Ответ: $(1,5; 3)$

в) Решим каждое неравенство системы по отдельности.
Первое неравенство:
$0,3x > 4$
$x > \frac{4}{0,3}$
$x > \frac{40}{3}$
$x > 13\frac{1}{3}$
Второе неравенство:
$0,2x + 1 < 6$
$0,2x < 6 - 1$
$0,2x < 5$
$x < \frac{5}{0,2}$
$x < 25$
Теперь найдем пересечение полученных решений: $x > 13\frac{1}{3}$ и $x < 25$.
Общим решением является числовой промежуток, в котором выполняются оба условия, то есть $13\frac{1}{3} < x < 25$.
Ответ: $(13\frac{1}{3}; 25)$

г) Решим каждое неравенство системы по отдельности.
Первое неравенство:
$\frac{5}{6}x - 10 \le 0$
$\frac{5}{6}x \le 10$
$x \le 10 \div \frac{5}{6}$
$x \le 10 \cdot \frac{6}{5}$
$x \le 12$
Второе неравенство:
$3x \le 1\frac{1}{3}$
Представим смешанное число в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
$3x \le \frac{4}{3}$
$x \le \frac{4}{3} \div 3$
$x \le \frac{4}{9}$
Теперь найдем пересечение полученных решений: $x \le 12$ и $x \le \frac{4}{9}$.
Поскольку $\frac{4}{9} < 12$, то пересечением этих двух условий будет более сильное неравенство $x \le \frac{4}{9}$.
Ответ: $(-\infty; \frac{4}{9}]$

979. Решите систему неравенств:

a) $\left\{\begin{array}{l}0,6x+7,2>0\\ 5,2\ge 2,6x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}0,6x>-7,2\\ x\le \frac{5,2}{2,6}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>-12\\ x\le 2\end{array}\right.$

Ответ: (-12;2]

б) $\left\{\begin{array}{l}1,5x+4,5\le 0\\ \frac{1}{9}x>1 /·9\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}1,5x\le -4,5\\ x\ge 9\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\le -3\\ x\ge 9\end{array}\right.$

Ответ: решений нет

в) $\left\{\begin{array}{l}0,2x<3\\ \frac{1}{6}x>0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<\frac{3}{0,2}\\ x>0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<15\\ x>0\end{array}\right.$

Ответ: (0,15)

г) $\left\{\begin{array}{l}2x-6,5<0\\ \frac{1}{3}x<-1 /·3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x<6,5\\ x<-3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<\frac{6,5}{2}\\ x<-3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<3,25\\ x<-3\end{array}\right.$

Ответ: (-∞;-3)

а) Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:
$0,6x + 7,2 > 0$
$0,6x > -7,2$
$x > \frac{-7,2}{0,6}$
$x > -12$

Второе неравенство:
$5,2 \ge 2,6x$
Перепишем для удобства:
$2,6x \le 5,2$
$x \le \frac{5,2}{2,6}$
$x \le 2$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x > -12$ и $x \le 2$.
На числовой прямой это будет промежуток от -12 (не включая) до 2 (включая).
Ответ: $(-12; 2]$.

б) Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:
$1,5x + 4,5 \le 0$
$1,5x \le -4,5$
$x \le \frac{-4,5}{1,5}$
$x \le -3$

Второе неравенство:
$\frac{1}{9}x \ge 1$
Умножим обе части на 9 (знак неравенства не меняется):
$x \ge 9$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x \le -3$ и $x \ge 9$.
Не существует числа, которое было бы одновременно меньше или равно -3 и больше или равно 9. Следовательно, множества решений не пересекаются.
Ответ: нет решений.

в) Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:
$0,2x < 3$
$x < \frac{3}{0,2}$
$x < 15$

Второе неравенство:
$\frac{1}{6}x > 0$
Умножим обе части на 6:
$x > 0$

Найдем пересечение решений: $x > 0$ и $x < 15$.
Это можно записать в виде двойного неравенства $0 < x < 15$.
Ответ: $(0; 15)$.

г) Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:
$2x - 6,5 < 0$
$2x < 6,5$
$x < \frac{6,5}{2}$
$x < 3,25$

Второе неравенство:
$\frac{1}{3}x < -1$
Умножим обе части на 3:
$x < -3$

Найдем пересечение решений: $x < 3,25$ и $x < -3$.
Если число меньше -3, оно автоматически будет меньше и 3,25. Следовательно, общим решением является более строгое неравенство $x < -3$.
Ответ: $(-\infty; -3)$.