Страница 220 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

980. Решите систему неравенств:

а) $\left\{\begin{array}{l}2x-1<1,4-x\\ 3x-2>x-4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}2x+x<1,4+1\\ 3x-x>-4+2\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}3x<2,4\\ 2x>-2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x<0,8\\ x>-1\end{array}\right.$

Ответ: (-1; 0,8)

б) $\left\{\begin{array}{l}5x+6\le x\\ 3x+12\le x+17\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}5x-x\le -6\\ 3x-x\le 17-12\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}4x\le -6\\ 2x\le 5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\le -\frac{6}{4}\\ x\le \frac{5}{2}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\le -1,5\\ x\le 2,5\end{array}\right.$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; -1,5]$

в) $\left\{\begin{array}{l}17x-2>12x-1\\ 3-9x<1-x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}17x-12x>-1+2\\ -9x+x<1-3\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}5x>1\\ -8x<-2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x>\frac{1}{5}\\ x>\frac{1}{4}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>0,2\\ x>0,25\end{array}\right.$

Ответ: $\left(0,25; +\mathrm{\infty }\right)(0,25;+\backslash infty)$

г) $\left\{\begin{array}{l}25-6x\le 4+x\\ 3x+7,7>1+4x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-6x-x\le 4-25\\ 3x-4x>1-7,7\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}-7x\le -21\\ -x>-6,7\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ge 3\\ x<6,7\end{array}\right.$

Ответ: [3; 6,7)

а) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x - 1 < 1,4 - x, \\ 3x - 2 > x - 4; \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) $2x - 1 < 1,4 - x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые в правую:

$2x + x < 1,4 + 1$

$3x < 2,4$

Разделим обе части на 3:

$x < \frac{2,4}{3}$

$x < 0,8$

2) $3x - 2 > x - 4$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые в правую:

$3x - x > -4 + 2$

$2x > -2$

Разделим обе части на 2:

$x > -1$

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $x < 0,8$ и $x > -1$.

Это можно записать в виде двойного неравенства: $-1 < x < 0,8$.

Ответ: $(-1; 0,8)$.

б) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 5x + 6 \le x, \\ 3x + 12 \le x + 17; \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) $5x + 6 \le x$

$5x - x \le -6$

$4x \le -6$

$x \le -\frac{6}{4}$

$x \le -1,5$

2) $3x + 12 \le x + 17$

$3x - x \le 17 - 12$

$2x \le 5$

$x \le 2,5$

Решением системы является пересечение решений $x \le -1,5$ и $x \le 2,5$. Для этого нужно выбрать более строгое неравенство.

Следовательно, решением системы является $x \le -1,5$.

Ответ: $(-\infty; -1,5]$.

в) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 17x - 2 > 12x - 1, \\ 3 - 9x < 1 - x; \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) $17x - 2 > 12x - 1$

$17x - 12x > -1 + 2$

$5x > 1$

$x > \frac{1}{5}$

$x > 0,2$

2) $3 - 9x < 1 - x$

$3 - 1 < -x + 9x$

$2 < 8x$

$\frac{2}{8} < x$

$x > \frac{1}{4}$

$x > 0,25$

Решением системы является пересечение решений $x > 0,2$ и $x > 0,25$. Для этого нужно выбрать более строгое неравенство.

Следовательно, решением системы является $x > 0,25$.

Ответ: $(0,25; +\infty)$.

г) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 25 - 6x \le 4 + x, \\ 3x + 7,7 > 1 + 4x; \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) $25 - 6x \le 4 + x$

$25 - 4 \le x + 6x$

$21 \le 7x$

$3 \le x$

2) $3x + 7,7 > 1 + 4x$

$7,7 - 1 > 4x - 3x$

$6,7 > x$

Решением системы является пересечение решений $x \ge 3$ и $x < 6,7$.

Это можно записать в виде двойного неравенства: $3 \le x < 6,7$.

Ответ: $[3; 6,7)$.

981. Решите систему неравенств:

а) $\left\{\begin{array}{l}57-7x>3x-2\\ 22x-1<2x+47\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-7x-3x>-2-57\\ 22x-2x<47+1\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}-10x>-59\\ 20x<48\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<5,9\\ x<\frac{48}{20}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<5,9\\ x<2,4\end{array}\right.$

Ответ: (-∞; 2,4)

б) $\left\{\begin{array}{l}1-12y<3y+1\\ 2-6y>4+4y\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-12y-3y<1-1\\ -6y-4y>4-2\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}-15y<0\\ -10y>2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y>0\\ y<-0,2\end{array}\right.$

Ответ: решений нет

в) $\left\{\begin{array}{l}102-73z>2z+2\\ 81+11z\ge 1+z\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-73z-2z>2-102\\ 11z-z\ge 1-81\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}-75z>-100\\ 10z\ge -80\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}z<\frac{-100}{-75}\\ z\ge -8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}z<\frac{4}{3}\\ z\ge -8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}z<1\frac{1}{3}\\ z\ge -8\end{array}\right.$

Ответ: [-8; $1\frac{1}{3}$)

г) $\left\{\begin{array}{l}6+6,2x\ge 12-1,8x\\ 2-x\ge 3,5-2x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}6,2x+1,8x\ge 12-6\\ -x+2x\ge 3,5-2\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}8x\ge 6\\ x\ge 1,5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ge \frac{6}{8}\\ x\ge 1,5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ge \frac{3}{4}\\ x\ge 1,5\end{array}\right.$

Ответ: [1,5; +∞)

а) Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 57 - 7x > 3x - 2 \\ 22x - 1 < 2x + 47 \end{cases}$
Сначала решим первое неравенство:
$57 - 7x > 3x - 2$
Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а свободные члены в другую:
$57 + 2 > 3x + 7x$
$59 > 10x$
Разделим обе части на 10:
$x < 5.9$
Теперь решим второе неравенство:
$22x - 1 < 2x + 47$
$22x - 2x < 47 + 1$
$20x < 48$
$x < \frac{48}{20}$
$x < 2.4$
Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств: $x < 5.9$ и $x < 2.4$.
Общее решение: $x < 2.4$.
Ответ: $(-\infty; 2.4)$

б) Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 1 - 12y < 3y + 1 \\ 2 - 6y > 4 + 4y \end{cases}$
Сначала решим первое неравенство:
$1 - 12y < 3y + 1$
$-12y - 3y < 1 - 1$
$-15y < 0$
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется:
$y > 0$
Теперь решим второе неравенство:
$2 - 6y > 4 + 4y$
$-6y - 4y > 4 - 2$
$-10y > 2$
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется:
$y < -\frac{2}{10}$
$y < -0.2$
Решением системы является пересечение множеств решений $y > 0$ и $y < -0.2$. Не существует числа, которое было бы одновременно больше 0 и меньше -0.2.
Ответ: решений нет.

в) Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 102 - 73z > 2z + 2 \\ 81 + 11z \ge 1 + z \end{cases}$
Сначала решим первое неравенство:
$102 - 73z > 2z + 2$
$102 - 2 > 2z + 73z$
$100 > 75z$
$z < \frac{100}{75}$
$z < \frac{4}{3}$
Теперь решим второе неравенство:
$81 + 11z \ge 1 + z$
$11z - z \ge 1 - 81$
$10z \ge -80$
$z \ge -8$
Решением системы является пересечение множеств решений $z < \frac{4}{3}$ и $z \ge -8$.
Общее решение: $-8 \le z < \frac{4}{3}$.
Ответ: $[-8; \frac{4}{3})$

г) Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 6 + 6,2x \ge 12 - 1,8x \\ 2 - x \ge 3,5 - 2x \end{cases}$
Сначала решим первое неравенство:
$6 + 6.2x \ge 12 - 1.8x$
$6.2x + 1.8x \ge 12 - 6$
$8x \ge 6$
$x \ge \frac{6}{8}$
$x \ge \frac{3}{4}$ или $x \ge 0.75$
Теперь решим второе неравенство:
$2 - x \ge 3.5 - 2x$
$2x - x \ge 3.5 - 2$
$x \ge 1.5$
Решением системы является пересечение множеств решений $x \ge 0.75$ и $x \ge 1.5$.
Общее решение: $x \ge 1.5$.
Ответ: $[1.5; +\infty)$

982. Укажите допустимые значения переменной:

а) $\sqrt{3-2x}+\sqrt{1-x}$

$\left\{\begin{array}{l}3-2x\ge 0\\ 1-x\ge 0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x\le 3\\ x\le 1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\le 1,5\\ x\le 1\end{array}\right.$

Ответ: (-∞; 1]

б) $\sqrt{x}-\sqrt{3x-1}$

$\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ 3x-1\ge 0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ 3x\ge 1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x\ge \frac{1}{3}\end{array}\right.$

Ответ: [$\frac{1}{3}; +\infty$)

в) $\sqrt{6-x}-\sqrt{3x-9}$

$\left\{\begin{array}{l}6-x\ge 0\\ 3x-9\ge 0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\le 6\\ 3x\ge 9\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x\le 6\\ x\ge 3\end{array}\right.$

Ответ: [3; 6]

г) $\sqrt{2x+2}+\sqrt{6-4x}$

$\left\{\begin{array}{c}2x+2\ge 0\\ 6-4x\ge 0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x\ge -2\\ -4x\ge -6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ge -1\\ x\le \frac{-6}{-4}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x\ge -1\\ x\le 1,5\end{array}\right.$

Ответ: [-1; 1,5]

а) Допустимые значения переменной для выражения $\sqrt{3-2x} + \sqrt{1-x}$ находятся из условия, что оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств: $3 - 2x \ge 0$ и $1 - x \ge 0$.

Решим первое неравенство: $3 - 2x \ge 0 \implies -2x \ge -3 \implies x \le \frac{3}{2}$.

Решим второе неравенство: $1 - x \ge 0 \implies -x \ge -1 \implies x \le 1$.

Общим решением системы является пересечение полученных множеств, то есть все значения $x$, удовлетворяющие обоим неравенствам одновременно. Таким образом, $x \le 1$. Ответ: $x \in (-\infty, 1]$.

б) Для выражения $\sqrt{x - \sqrt{3x-1}}$ область допустимых значений определяется системой из двух условий: подкоренное выражение внутреннего корня и подкоренное выражение внешнего корня должны быть неотрицательными. То есть: $3x - 1 \ge 0$ и $x - \sqrt{3x-1} \ge 0$.

Из первого неравенства получаем: $3x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{3}$.

Решим второе неравенство: $x - \sqrt{3x-1} \ge 0 \implies x \ge \sqrt{3x-1}$.

Для существования решения необходимо, чтобы левая часть была неотрицательна, $x \ge 0$. Учитывая, что мы уже имеем условие $x \ge \frac{1}{3}$, это требование выполняется. Поскольку обе части неравенства $x \ge \sqrt{3x-1}$ неотрицательны при $x \ge \frac{1}{3}$, можно возвести их в квадрат:

$x^2 \ge 3x - 1 \implies x^2 - 3x + 1 \ge 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x + 1 = 0$ по формуле: $x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Так как парабола $y = x^2 - 3x + 1$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется для $x \le \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ или $x \ge \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.

Теперь нужно найти пересечение этого решения с условием $x \ge \frac{1}{3}$. Так как $\frac{1}{3} < \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$, то общее решение — это объединение промежутков, удовлетворяющих всем условиям: $[\frac{1}{3}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, +\infty)$. Ответ: $x \in [\frac{1}{3}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, +\infty)$.

в) Допустимые значения переменной для выражения $\sqrt{6-x} - \sqrt{3x-9}$ определяются системой неравенств, в которой оба подкоренных выражения неотрицательны: $6 - x \ge 0$ и $3x - 9 \ge 0$.

Решим первое неравенство: $6 - x \ge 0 \implies 6 \ge x \implies x \le 6$.

Решим второе неравенство: $3x - 9 \ge 0 \implies 3x \ge 9 \implies x \ge 3$.

Пересечением решений $x \le 6$ и $x \ge 3$ является отрезок $3 \le x \le 6$. Ответ: $x \in [3, 6]$.

г) Допустимые значения переменной для выражения $\sqrt{2x+2} + \sqrt{6-4x}$ определяются системой неравенств: $2x + 2 \ge 0$ и $6 - 4x \ge 0$.

Решим первое неравенство: $2x + 2 \ge 0 \implies 2x \ge -2 \implies x \ge -1$.

Решим второе неравенство: $6 - 4x \ge 0 \implies 6 \ge 4x \implies x \le \frac{6}{4} \implies x \le \frac{3}{2}$.

Пересечением решений $x \ge -1$ и $x \le \frac{3}{2}$ является отрезок $-1 \le x \le \frac{3}{2}$. Ответ: $x \in [-1, \frac{3}{2}]$.

983. Найдите область определения функции:

а) $y=\frac{x-2}{\sqrt{x+6}-\sqrt{2x-5}}$

$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x+6}-\sqrt{2x-5}\ne 0\\ x+6\ge 0\\ 2x-5\ge 0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x+6}\ne \sqrt{2x-5}\\ x\ge -6\\ x\ge \mathrm{2,5}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x+6\ne 2x-5\\ x\ge -6\\ x\ge \mathrm{2,5}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x-2x\ne -5-6\\ x\ge -6\\ x\ge \mathrm{2,5}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}-x\ne -11\\ x\ge -6\\ x\ge \mathrm{2,5}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ne 11\\ x\ge -6\\ x\ge \mathrm{2,5}\end{array}\right.$

Ответ: $[2,5; 11)\cup (11; +\infty )$

б) $y=\frac{6}{\sqrt{2x-1}-\sqrt{x+1}}$

$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2x-1}-\sqrt{x+1}\ne 0\\ 2x-1\ge 0\\ x+1\ge 0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2x-1}\ne \sqrt{x+1}\\ 2x\ge 1\\ x\ge -1\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}2x-1\ne x+1\\ x\ge \mathrm{0,5}\\ x\ge -1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x-x\ne 1+1\\ x\ge \mathrm{0,5}\\ x\ge -1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ne 2\\ x\ge \mathrm{0,5}\\ x\ge -1\end{array}\right.$

Ответ: $[0,5; 2)\cup (2; +\infty )$

а) $y = \frac{x-2}{\sqrt{x+6}-\sqrt{2x-5}}$

Область определения функции (ОДЗ) определяется двумя условиями:

1. Подкоренные выражения должны быть неотрицательными.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Запишем эти условия в виде системы:

$\begin{cases} x+6 \ge 0 \\ 2x-5 \ge 0 \\ \sqrt{x+6} - \sqrt{2x-5} \neq 0 \end{cases}$

Решим первые два неравенства, чтобы найти допустимые значения для подкоренных выражений:

$x+6 \ge 0 \implies x \ge -6$

$2x-5 \ge 0 \implies 2x \ge 5 \implies x \ge 2.5$

Чтобы оба условия выполнялись одновременно, необходимо взять пересечение их решений, то есть $x \ge 2.5$. Это можно записать в виде интервала: $[2.5, +\infty)$.

Теперь решим третье условие, касающееся знаменателя:

$\sqrt{x+6} - \sqrt{2x-5} \neq 0$

$\sqrt{x+6} \neq \sqrt{2x-5}$

Поскольку на найденном промежутке $x \ge 2.5$ обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:

$x+6 \neq 2x-5$

$6+5 \neq 2x-x$

$11 \neq x$

Итак, из промежутка $[2.5, +\infty)$ необходимо исключить точку $x=11$.

Объединяя все условия, получаем область определения функции.

Ответ: $D(y) = [2.5, 11) \cup (11, +\infty)$.

б) $y = \frac{6}{\sqrt{2x-1}-\sqrt{x+1}}$

Область определения этой функции также находится из условий неотрицательности подкоренных выражений и неравенства знаменателя нулю.

Составим соответствующую систему:

$\begin{cases} 2x-1 \ge 0 \\ x+1 \ge 0 \\ \sqrt{2x-1} - \sqrt{x+1} \neq 0 \end{cases}$

Решим первые два неравенства:

$2x-1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge 0.5$

$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$

Пересечением решений этих двух неравенств является промежуток $x \ge 0.5$, или $x \in [0.5, +\infty)$.

Теперь рассмотрим условие для знаменателя:

$\sqrt{2x-1} - \sqrt{x+1} \neq 0$

$\sqrt{2x-1} \neq \sqrt{x+1}$

Возводим обе части в квадрат, так как при $x \ge 0.5$ они обе неотрицательны:

$2x-1 \neq x+1$

$2x-x \neq 1+1$

$x \neq 2$

Следовательно, из промежутка $[0.5, +\infty)$ нужно исключить точку $x=2$.

Объединяя все условия, получаем итоговую область определения.

Ответ: $D(y) = [0.5, 2) \cup (2, +\infty)$.

984. Решите систему неравенств:

а) $\left\{\begin{array}{l}5(x-2)-x>2\\ 1-3(x-1)<-2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}5x-10-x>2\\ 1-3x+3<-2\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}4x>12\\ -3x<-2-4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>3\\ -3x<-6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>3\\ x>2\end{array}\right.$

Ответ: (3; +∞)

б) $\left\{\begin{array}{l}2y-\left(y-4\right)<6\\ y>3\left(2y-1\right)+18\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2y-y+4<6\\ y>6y-3+18\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}y<6-4\\ y-6y>15\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y<2\\ -5y>15\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y<2\\ y<-3\end{array}\right.$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; -3\right)(-\backslash infty;\; -3)$

в) $\left\{\begin{array}{l}7x+3\ge 5\left(x-4\right)+1\\ 4x+1\le 43-3\left(7+x\right)\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}7x+3\ge 5x-20+1\\ 4x+1\le 43-21-3x\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}7x-5x\ge -19-3\\ 4x+3x\le 22-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x\ge -22\\ 7x\le 21\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ge -11\\ x\le 3\end{array}\right.$

Ответ: $[-11; 3][-11;\; 3]$

г) $\left\{\begin{array}{l}3\left(2-3p\right)-2\left(3-2p\right)>p\\ 6<p^2-p\left(p-8\right)\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}6-9p-6+4p>p\\ 6<p^2-p^2+8p\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}-5p>p\\ 8p>6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}-5p-p>0\\ p>\frac{6}{8}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}-6p>0\\ p>\frac{3}{4}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}p<0\\ p>\frac{3}{4}\end{array}\right.$

Ответ: решений нет

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 5(x - 2) - x > 2, \\ 1 - 3(x - 1) < -2; \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) $5(x - 2) - x > 2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$5x - 10 - x > 2$

$4x - 10 > 2$

Перенесем свободные члены в правую часть:

$4x > 2 + 10$

$4x > 12$

Разделим обе части на 4:

$x > 3$

2) $1 - 3(x - 1) < -2$

Раскроем скобки:

$1 - 3x + 3 < -2$

$4 - 3x < -2$

Перенесем свободные члены в правую часть:

$-3x < -2 - 4$

$-3x < -6$

Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > 2$

Найдем пересечение решений $x > 3$ и $x > 2$. Общим решением является промежуток, удовлетворяющий обоим неравенствам, то есть $x > 3$.

Ответ: $(3; +\infty)$.

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 2y - (y - 4) < 6, \\ y > 3(2y - 1) + 18; \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) $2y - (y - 4) < 6$

Раскроем скобки:

$2y - y + 4 < 6$

$y + 4 < 6$

Перенесем свободные члены в правую часть:

$y < 6 - 4$

$y < 2$

2) $y > 3(2y - 1) + 18$

Раскроем скобки:

$y > 6y - 3 + 18$

$y > 6y + 15$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены оставим в правой:

$y - 6y > 15$

$-5y > 15$

Разделим обе части на -5, изменив знак неравенства на противоположный:

$y < -3$

Найдем пересечение решений $y < 2$ и $y < -3$. Общим решением является промежуток $y < -3$.

Ответ: $(-\infty; -3)$.

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 7x + 3 \ge 5(x - 4) + 1, \\ 4x + 1 \le 43 - 3(7 + x); \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) $7x + 3 \ge 5(x - 4) + 1$

Раскроем скобки:

$7x + 3 \ge 5x - 20 + 1$

$7x + 3 \ge 5x - 19$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены в правую:

$7x - 5x \ge -19 - 3$

$2x \ge -22$

Разделим обе части на 2:

$x \ge -11$

2) $4x + 1 \le 43 - 3(7 + x)$

Раскроем скобки:

$4x + 1 \le 43 - 21 - 3x$

$4x + 1 \le 22 - 3x$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены в правую:

$4x + 3x \le 22 - 1$

$7x \le 21$

Разделим обе части на 7:

$x \le 3$

Найдем пересечение решений $x \ge -11$ и $x \le 3$. Общим решением является отрезок $[-11; 3]$.

Ответ: $[-11; 3]$.

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 3(2 - 3p) - 2(3 - 2p) > p, \\ 6 < p^2 - p(p - 8). \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) $3(2 - 3p) - 2(3 - 2p) > p$

Раскроем скобки:

$6 - 9p - 6 + 4p > p$

Приведем подобные слагаемые:

$-5p > p$

Перенесем слагаемое с переменной в левую часть:

$-5p - p > 0$

$-6p > 0$

Разделим обе части на -6, изменив знак неравенства на противоположный:

$p < 0$

2) $6 < p^2 - p(p - 8)$

Раскроем скобки в правой части:

$6 < p^2 - p^2 + 8p$

Приведем подобные слагаемые:

$6 < 8p$

Для удобства запишем неравенство в виде $8p > 6$.

Разделим обе части на 8:

$p > \frac{6}{8}$

$p > \frac{3}{4}$

Найдем пересечение решений $p < 0$ и $p > \frac{3}{4}$. Не существует числа, которое одновременно меньше 0 и больше $\frac{3}{4}$. Следовательно, у системы нет решений.

Ответ: решений нет.

985. Решите систему неравенств:

a) $\left\{\begin{array}{l}2\left(x-1\right)-3\left(x-2\right)<x\\ 6x-3<17-\left(x-5\right)\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x-2-3x+6<x\\ 6x-3<17-x+5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}-x+4<x\\ 6x+x<22+3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-x-x<-4\\ 7x<25\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}-2x<-4\\ x<\frac{25}{7}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>2\\ x<3\frac{4}{7}\end{array}\right.$

Ответ: $\left(2; 3\frac{4}{7}\right)(2;\; 3\backslash frac\{4\}\{7\})$

б) $\left\{\begin{array}{l}3,3-3\left(1,2-5x\right)>0,6\left(10x+1\right)\\ 1,6-4,5\left(4x-1\right)<2x+26,1\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}3,3-3,6+15x>6x+0,6\\ 1,6-18x+4,5<2x+26,1\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}15x-6x>0,6+3,6-3,3\\ -18x-2x<26,1-1,6-4,5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}9x>0,9\\ -20x<20\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>0,1\\ x>-1\end{array}\right.$

Ответ: $\left(0,1; +\mathrm{\infty }\right)(0,1;+\backslash infty)$

в) $\left\{\begin{array}{l}5,8\left(1-a\right)-1,8\left(6-a\right)<5\\ 8-4\left(2-5a\right)>-\left(5a+6\right)\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}5,8-5,8a-10,8+1,8a<5\\ 8-8+20a>-5a-6\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}-4a-5<5\\ 20a+5a>-6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-4a<10\\ 25a>-6\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}a>-2,5\\ a>-\frac{6}{25}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}a>-2,5\\ a>-0,24\end{array}\right.$

Ответ: (-0,24; +∞)

г) $\left\{\begin{array}{l}x(x-1)-(x^2-10)<1-6x\\ 3,5-(x-1,5)<6-4x\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}{x}^2-x-x^2+10<1-6x\\ 3,5-x+1,5<6-4x\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}-x+6x<1-10\\ -x+4x<6-5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}5x<-9\\ 3x<1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<-1,8\\ x<\frac{1}{3}\end{array}\right.$

Ответ: (-∞; -1,8)

а)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2(x - 1) - 3(x - 2) < x, \\ 6x - 3 < 17 - (x - 5); \end{cases} $

Преобразуем первое неравенство:

$2x - 2 - 3x + 6 < x$

$-x + 4 < x$

$4 < 2x$

$2 < x$, или $x > 2$.

Преобразуем второе неравенство:

$6x - 3 < 17 - x + 5$

$6x - 3 < 22 - x$

$7x < 25$

$x < \frac{25}{7}$.

Решением системы является пересечение промежутков $x > 2$ и $x < \frac{25}{7}$, то есть $2 < x < \frac{25}{7}$.

Ответ: $(2; \frac{25}{7})$.

б)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3,3 - 3(1,2 - 5x) > 0,6(10x + 1), \\ 1,6 - 4,5(4x - 1) < 2x + 26,1; \end{cases} $

Преобразуем первое неравенство:

$3,3 - 3,6 + 15x > 6x + 0,6$

$-0,3 + 15x > 6x + 0,6$

$15x - 6x > 0,6 + 0,3$

$9x > 0,9$

$x > 0,1$.

Преобразуем второе неравенство:

$1,6 - 18x + 4,5 < 2x + 26,1$

$6,1 - 18x < 2x + 26,1$

$6,1 - 26,1 < 2x + 18x$

$-20 < 20x$

$-1 < x$, или $x > -1$.

Решением системы является пересечение промежутков $x > 0,1$ и $x > -1$. Общим решением будет $x > 0,1$.

Ответ: $(0,1; +\infty)$.

в)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 5,8(1 - a) - 1,8(6 - a) < 5, \\ 8 - 4(2 - 5a) > -(5a + 6); \end{cases} $

Преобразуем первое неравенство:

$5,8 - 5,8a - 10,8 + 1,8a < 5$

$-5 - 4a < 5$

$-4a < 10$

$a > -\frac{10}{4}$ (знак неравенства меняется, так как делим на отрицательное число)

$a > -2,5$.

Преобразуем второе неравенство:

$8 - 8 + 20a > -5a - 6$

$20a > -5a - 6$

$25a > -6$

$a > -\frac{6}{25}$

$a > -0,24$.

Решением системы является пересечение промежутков $a > -2,5$ и $a > -0,24$. Так как $-0,24 > -2,5$, общим решением будет $a > -0,24$.

Ответ: $(-0,24; +\infty)$.

г)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x(x - 1) - (x^2 - 10) < 1 - 6x, \\ 3,5 - (x - 1,5) < 6 - 4x. \end{cases} $

Преобразуем первое неравенство:

$x^2 - x - x^2 + 10 < 1 - 6x$

$-x + 10 < 1 - 6x$

$5x < -9$

$x < -\frac{9}{5}$

$x < -1,8$.

Преобразуем второе неравенство:

$3,5 - x + 1,5 < 6 - 4x$

$5 - x < 6 - 4x$

$3x < 1$

$x < \frac{1}{3}$.

Решением системы является пересечение промежутков $x < -1,8$ и $x < \frac{1}{3}$. Так как $-1,8 < \frac{1}{3}$, общим решением будет $x < -1,8$.

Ответ: $(-\infty; -1,8)$.