Страница 214 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

956. Решите неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}31\left(2x+1\right)-12x>50x \\ 62x+31-12x>50x \\ 50x-50x>-31 \\ 0x>-31 \end{gathered}$$

При любом значении x получим верное неравенство $0>-310>-31$

Ответ: x - любое число

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}x+4-\frac{x}{3}<\frac{2x}{3} \mathrm{/}·3 \\ 3x+12-x<2x \\ 2x-2x<-12 \\ 0x<-12 \end{gathered}$$

При любом значении x неравенство 0<-12 неверное

Ответ: нет решений

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}3x+7>5\left(x+2\right)-\left(2x+1\right) \\ 3x+7>5x+10-2x-1 \\ 3x+7>3x+9 \\ 3x-3x>9-7 \\ 0x>2 \end{gathered}$$

При любом значении x неравенство 0>2 - неверное

Ответ: нет решений

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{12x-1}{3}<4x-3\mathrm{/}·3 \\ 12x-1<12x-9 \\ 12x-12x<-9+1 \\ 0x<-8 \end{gathered}$$

При любом значении x неравенство неверное

Ответ: нет решений

а) Решим неравенство $31(2x + 1) - 12x > 50x$.

Сначала раскроем скобки в левой части:

$31 \cdot 2x + 31 \cdot 1 - 12x > 50x$

$62x + 31 - 12x > 50x$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части:

$(62x - 12x) + 31 > 50x$

$50x + 31 > 50x$

Перенесем член $50x$ из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$31 > 50x - 50x$

$31 > 0$

В результате мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство выполняется для любого действительного числа $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Решим неравенство $x + 4 - \frac{x}{3} < \frac{2x}{3}$.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на их общий знаменатель, равный 3. Так как мы умножаем на положительное число (3 > 0), знак неравенства не меняется.

$3 \cdot (x + 4 - \frac{x}{3}) < 3 \cdot \frac{2x}{3}$

$3x + 12 - x < 2x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(3x - x) + 12 < 2x$

$2x + 12 < 2x$

Перенесем член $2x$ из левой части в правую:

$12 < 2x - 2x$

$12 < 0$

Мы получили неверное числовое неравенство. Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором исходное неравенство было бы верным.

Ответ: решений нет.

в) Решим неравенство $3x + 7 > 5(x + 2) - (2x + 1)$.

Раскроем скобки в правой части неравенства:

$3x + 7 > 5x + 10 - 2x - 1$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$3x + 7 > (5x - 2x) + (10 - 1)$

$3x + 7 > 3x + 9$

Перенесем все члены с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$3x - 3x > 9 - 7$

$0 > 2$

Полученное неравенство $0 > 2$ является неверным. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.

г) Решим неравенство $\frac{12x - 1}{3} < 4x - 3$.

Умножим обе части неравенства на 3, чтобы избавиться от знаменателя. Знак неравенства при умножении на положительное число 3 не меняется.

$3 \cdot \frac{12x - 1}{3} < 3 \cdot (4x - 3)$

$12x - 1 < 12x - 9$

Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$12x - 12x < -9 + 1$

$0 < -8$

Мы получили неверное числовое неравенство $0 < -8$. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.

957. При каких значениях х функция, заданная формулой y = 2x + 13, принимает положительные значения; отрицательные значения?

$$\begin{gathered} y=2x+13, y>0, \\ 2x+13>0 \\ 2x>-13 \\ x>-\mathrm{6,5} \\ y<0 \\ 2x+13<0 \\ 2x<-13 \\ x<-\mathrm{6,5} \end{gathered}$$

Ответ: $y>0y>0$ при $x>-\mathrm{6,5}$

$y<0$ при

Дана функция $y = 2x + 13$. Нам нужно определить, при каких значениях $x$ эта функция принимает положительные и отрицательные значения.

положительные значения

Функция принимает положительные значения, когда $y > 0$. Составим и решим неравенство:

$2x + 13 > 0$

Перенесем 13 в правую часть неравенства, изменив знак:

$2x > -13$

Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$x > -\frac{13}{2}$

Преобразуем дробь в десятичное число:

$x > -6.5$

Это означает, что функция принимает положительные значения для всех $x$, которые больше -6.5.

Ответ: при $x > -6.5$.

отрицательные значения

Функция принимает отрицательные значения, когда $y < 0$. Составим и решим соответствующее неравенство:

$2x + 13 < 0$

Перенесем 13 в правую часть с противоположным знаком:

$2x < -13$

Разделим обе части на 2:

$x < -\frac{13}{2}$

Или в виде десятичной дроби:

$x < -6.5$

Это означает, что функция принимает отрицательные значения для всех $x$, которые меньше -6.5.

Ответ: при $x < -6.5$.

958. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\sqrt{2x-4} \\ 2x-4\ge 0 \\ 2x\ge 4 \\ x\ge 2 \end{gathered}$$

Ответ: при $x\ge 2x\; \backslash ge\; 2$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\sqrt{4-6a} \\ 4-6a\ge 0 \\ 6a\le 4 \\ a\le \frac{4}{6} \\ a\le \frac{2}{3} \end{gathered}$$

Ответ: при $a\le \frac{2}{3}a\; \backslash le\; \backslash frac\{2\}\{3\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\sqrt{\frac{1+3a}{25}} \\ \frac{1+3a}{25}\ge 0 /·25 \\ 1+3a\ge 0 \\ 3a\ge -1 \\ a\ge -\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Ответ: при $a\ge -\frac{1}{3}a\; \backslash ge\; -\backslash frac\{1\}\{3\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\sqrt{\frac{7-5a}{8}} \\ \frac{7-5a}{8}\ge 0 /·8 \\ 7-5a\ge 0 \\ -5a\ge -7 \\ a\le \frac{7}{5} \\ a\le \mathrm{1,4} \end{gathered}$$

Ответ: при $a\le \mathrm{1,4}a\; \backslash le\; 1,4$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\sqrt{-3\left(1-5x\right)} \\ -3\left(1-5x\right)\ge 0 \\ 1-5x\le 0 \\ -5x\le -1 \\ x\ge \frac{1}{5} \\ x\ge \mathrm{0,2} \end{gathered}$$

Ответ: при $x\ge \mathrm{0,2}x\; \backslash ge\; 0,2$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}\sqrt{-\left(6-x\right)} \\ -\left(6-x\right)\ge 0 \\ 6-x\le 0 \\ x\ge 6 \end{gathered}$$

Ответ: при $x\ge 6x\; \backslash ge\; 6$

Выражение, содержащее арифметический квадратный корень, имеет смысл (определено на множестве действительных чисел) только в том случае, когда значение подкоренного выражения (радиканда) является неотрицательным, то есть больше или равно нулю.

а) Для выражения $ \sqrt{2x-4} $ подкоренное выражение $ 2x-4 $ должно быть неотрицательным. Составим и решим неравенство: $ 2x - 4 \ge 0 $. Перенесем $-4$ в правую часть, меняя знак: $ 2x \ge 4 $. Разделим обе части на 2: $ x \ge 2 $.
Ответ: $ x \ge 2 $.

б) Для выражения $ \sqrt{4 - 6a} $ подкоренное выражение $ 4 - 6a $ должно быть неотрицательным. Составим и решим неравенство: $ 4 - 6a \ge 0 $. Перенесем $4$ в правую часть: $ -6a \ge -4 $. Разделим обе части на $-6$ и поменяем знак неравенства на противоположный: $ a \le \frac{-4}{-6} $, что равносильно $ a \le \frac{2}{3} $.
Ответ: $ a \le \frac{2}{3} $.

в) Для выражения $ \sqrt{\frac{1+3a}{25}} $ подкоренное выражение $ \frac{1+3a}{25} $ должно быть неотрицательным. Так как знаменатель $25$ — положительное число, знак дроби зависит только от знака числителя. Поэтому неравенство равносильно следующему: $ 1 + 3a \ge 0 $. Перенесем $1$ в правую часть: $ 3a \ge -1 $. Разделим обе части на 3: $ a \ge -\frac{1}{3} $.
Ответ: $ a \ge -\frac{1}{3} $.

г) Для выражения $ \sqrt{\frac{7-5a}{8}} $ подкоренное выражение $ \frac{7-5a}{8} $ должно быть неотрицательным. Знаменатель $8$ положителен, поэтому неравенство сводится к $ 7 - 5a \ge 0 $. Перенесем $7$ в правую часть: $ -5a \ge -7 $. Разделим обе части на $-5$ и поменяем знак неравенства на противоположный: $ a \le \frac{-7}{-5} $, что равносильно $ a \le \frac{7}{5} $.
Ответ: $ a \le \frac{7}{5} $.

д) Для выражения $ \sqrt{-3(1-5x)} $ подкоренное выражение $ -3(1-5x) $ должно быть неотрицательным. Составим неравенство: $ -3(1 - 5x) \ge 0 $. Разделим обе части на $-3$ и сменим знак неравенства: $ 1 - 5x \le 0 $. Перенесем $1$ в правую часть: $ -5x \le -1 $. Разделим обе части на $-5$ и снова поменяем знак неравенства: $ x \ge \frac{-1}{-5} $, то есть $ x \ge \frac{1}{5} $.
Ответ: $ x \ge \frac{1}{5} $.

е) Для выражения $ \sqrt{-(6-x)} $ подкоренное выражение $ -(6-x) $ должно быть неотрицательным. Решим неравенство: $ -(6-x) \ge 0 $. Раскрыв скобки, получим $ -6 + x \ge 0 $. Перенесем $-6$ в правую часть, меняя знак: $ x \ge 6 $.
Ответ: $ x \ge 6 $.

959. Найдите область определения функции:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}y=\frac{\sqrt{7-14x}}{x+8} \\ \left\{\begin{array}{l}7-14x\ge 0\\ x+8\ne 0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-14x\ge -7\\ x\ne -8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\le \frac{-7}{-14}\\ x\ne -8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\le \mathrm{0,5}\\ x\ne -8\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; -8\right)\cup (-8; 0,5]$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=\frac{6}{\sqrt{4-x}-1} \\ \sqrt{4-x}-1\ne 0 \\ \sqrt{4-x}\ne 1 \\ \left\{\begin{array}{c}4-x\ne 1\\ 4-x\ge 0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x\ne 3\\ x\le 4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; 3\right)\cup (3; 4]$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Для данной функции $y = \frac{\sqrt{7-14x}}{x+8}$ должны выполняться два условия одновременно:

1. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным, так как извлечение квадратного корня из отрицательного числа не определено в множестве действительных чисел.
$7 - 14x \ge 0$
Перенесем 7 в правую часть:
$-14x \ge -7$
Разделим обе части неравенства на -14, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$x \le \frac{-7}{-14}$
$x \le \frac{1}{2}$

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, так как деление на ноль невозможно.
$x + 8 \ne 0$
$x \ne -8$

Для нахождения области определения функции необходимо найти пересечение полученных условий: $x \le \frac{1}{2}$ и $x \ne -8$.
Это означает, что подходят все числа, которые меньше или равны $\frac{1}{2}$, за исключением числа -8.
В виде промежутков это записывается как объединение $(-\infty; -8)$ и $(-8; \frac{1}{2}]$.

Ответ: $(-\infty; -8) \cup (-8; \frac{1}{2}]$

Для нахождения области определения функции $y = \frac{6}{\sqrt{4-x}-1}$ также должны выполняться два условия:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
$4 - x \ge 0$
$-x \ge -4$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$x \le 4$

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю.
$\sqrt{4-x} - 1 \ne 0$
$\sqrt{4-x} \ne 1$
Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:
$(\sqrt{4-x})^2 \ne 1^2$
$4 - x \ne 1$
$-x \ne 1 - 4$
$-x \ne -3$
$x \ne 3$

Объединим оба условия: $x \le 4$ и $x \ne 3$.
Это означает, что подходят все числа, которые меньше или равны 4, кроме числа 3.
В виде промежутков это записывается как объединение $(-\infty; 3)$ и $(3; 4]$.

Ответ: $(-\infty; 3) \cup (3; 4]$

960. Найдите:

а) наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству 1,6 – (3 – 2y) ‹ 5;

б) наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству 8(6 – y) ‹ 24,2 – 7y.

a) 1,6-(3-2y)<5

1,6-3+2y<5

2y-1,4<5

2y<6,4

y<3,2

Ответ: 3

б) 8(6-y)<24,2-7y

48-8y<24,2-7y

-8y+7y<24,2-48

-y<-23,8

y>23,8

Ответ: 24

а) Чтобы найти наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству, сначала решим это неравенство относительно $y$.

Исходное неравенство:

$1,6 - (3 - 2y) < 5$

Раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак минус, знаки слагаемых внутри скобок изменятся на противоположные:

$1,6 - 3 + 2y < 5$

Выполним вычитание в левой части:

$-1,4 + 2y < 5$

Перенесем $-1,4$ из левой части в правую, изменив знак на плюс:

$2y < 5 + 1,4$

$2y < 6,4$

Разделим обе части неравенства на 2:

$y < \frac{6,4}{2}$

$y < 3,2$

Мы ищем наибольшее целое число, которое меньше 3,2. На числовой оси это все целые числа, которые лежат левее точки 3,2. Это числа 3, 2, 1, 0, ... Наибольшим из этих чисел является 3.

Ответ: 3

б) Чтобы найти наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству, сначала решим это неравенство относительно $y$.

Исходное неравенство:

$8(6 - y) < 24,2 - 7y$

Раскроем скобки в левой части, умножив 8 на каждое слагаемое в скобках:

$48 - 8y < 24,2 - 7y$

Сгруппируем слагаемые с переменной $y$ в одной части неравенства, а свободные члены — в другой. Перенесем $-8y$ в правую часть, а 24,2 — в левую, изменив их знаки:

$48 - 24,2 < -7y + 8y$

Упростим обе части неравенства:

$23,8 < y$

Это неравенство можно записать в более привычном виде $y > 23,8$.

Мы ищем наименьшее целое число, которое больше 23,8. На числовой оси это все целые числа, которые лежат правее точки 23,8. Это числа 24, 25, 26, ... Наименьшим из этих чисел является 24.

Ответ: 24

961. При каких натуральных значениях n:

а) разность (2 – 2n) – (5n – 27) положительна;

б) сумма (–27,1 + 3n) + (7,1 + 5n) отрицательна?

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\left(2-2n\right)-\left(5n-27\right)>0 \\ 2-2n-5n+27>0 \\ 29-7n>0 \\ 7n<29 \\ n<\frac{29}{7} \\ n<4\frac{1}{7} \end{gathered}$$

Ответ: при n=1, 2, 3, 4

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\left(-27,1+3n\right)+\left(7,1+5n\right)<0 \\ -27,1+3n+7,1+5n<0 \\ 8n-20<0 \\ 8n<20 \\ n<\frac{20}{8} \\ n<2,5 \end{gathered}$$

Ответ: при n=1; 2

а) Условие, что разность $(2 - 2n) - (5n - 27)$ положительна, означает, что она больше нуля. Запишем и решим соответствующее неравенство:

$(2 - 2n) - (5n - 27) > 0$

Сначала раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки слагаемых в ней меняются на противоположные:

$2 - 2n - 5n + 27 > 0$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$(2 + 27) + (-2n - 5n) > 0$

$29 - 7n > 0$

Перенесем слагаемое без переменной в правую часть неравенства:

$-7n > -29$

Чтобы найти $n$, разделим обе части неравенства на -7. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$n < \frac{-29}{-7}$

$n < \frac{29}{7}$

Для удобства представим неправильную дробь в виде смешанного числа:

$n < 4\frac{1}{7}$

В задаче требуется найти натуральные значения $n$. Натуральными числами, удовлетворяющими условию $n < 4\frac{1}{7}$, являются 1, 2, 3 и 4.

Ответ: 1, 2, 3, 4.

б) Условие, что сумма $(-27,1 + 3n) + (7,1 + 5n)$ отрицательна, означает, что она меньше нуля. Запишем и решим это неравенство:

$(-27,1 + 3n) + (7,1 + 5n) < 0$

Раскроем скобки:

$-27,1 + 3n + 7,1 + 5n < 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(-27,1 + 7,1) + (3n + 5n) < 0$

$-20 + 8n < 0$

Перенесем слагаемое без переменной в правую часть неравенства:

$8n < 20$

Разделим обе части неравенства на 8:

$n < \frac{20}{8}$

Сократим дробь и представим ее в виде десятичной:

$n < \frac{5}{2}$

$n < 2,5$

Так как $n$ должно быть натуральным числом, нам подходят натуральные числа, которые меньше 2,5. Такими числами являются 1 и 2.

Ответ: 1, 2.

962. Найдите множество значений а, при которых уравнение не имеет корней.

(a + 5)x² + 4x – 20 = 0

(a+5)x²+4x-20=0

$D=4^2-4·\left(-20\right)\left(a+5\right)=16+80\left(a+5\right)D=4²-4\; \backslash cdot\; (-20)(a+5)=16+80(a+5)$

Если уравнение не имеет корней, значит D<0

16+80(a+5)<0

16+80a+400<0

416+80a<0

80a<-416

a<-5,2

Ответ: (-∞, -5,2)

Данное уравнение $(a + 5)x^2 + 4x - 20 = 0$ является уравнением с параметром $a$. Чтобы найти значения $a$, при которых оно не имеет корней, необходимо рассмотреть два случая в зависимости от коэффициента при $x^2$.

Случай 1: Уравнение является квадратным

Это условие выполняется, если коэффициент при $x^2$ отличен от нуля:

$a + 5 \neq 0$, то есть $a \neq -5$.

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ меньше нуля ($D < 0$).

Коэффициенты уравнения: $A = a + 5$, $B = 4$, $C = -20$.

Найдем дискриминант:

$D = B^2 - 4AC = 4^2 - 4 \cdot (a + 5) \cdot (-20) = 16 + 80(a + 5)$

$D = 16 + 80a + 400 = 80a + 416$

Решим неравенство $D < 0$:

$80a + 416 < 0$

$80a < -416$

$a < -\frac{416}{80}$

Сократим дробь. Заметим, что $416 = 16 \cdot 26$ и $80 = 16 \cdot 5$.

$a < -\frac{16 \cdot 26}{16 \cdot 5}$

$a < -\frac{26}{5}$

$a < -5.2$

Полученное множество значений $a \in (-\infty; -5.2)$ полностью удовлетворяет условию $a \neq -5$, так как число $-5$ не входит в этот интервал.

Случай 2: Уравнение является линейным

Это условие выполняется, если коэффициент при $x^2$ равен нулю:

$a + 5 = 0$, то есть $a = -5$.

Подставим это значение $a$ в исходное уравнение:

$(-5 + 5)x^2 + 4x - 20 = 0$

$0 \cdot x^2 + 4x - 20 = 0$

$4x - 20 = 0$

Это линейное уравнение имеет единственный корень:

$4x = 20$

$x = 5$

Поскольку при $a = -5$ уравнение имеет корень, это значение $a$ не удовлетворяет условию задачи.

Объединяя результаты анализа двух случаев, мы заключаем, что исходное уравнение не имеет корней только при значениях $a$, найденных в первом случае.

Ответ: $a \in (-\infty; -5.2)$

963. Найдите множество значений k, при которых уравнение имеет два корня.

(k – 4)x² + 16x – 24 = 0

$$\begin{gathered} \left(k-4\right)x^2+16x-24=0 \\ D=16^2-4·\left(-24\right)\left(k-4\right)=256+96\left(k-4\right) \end{gathered}$$

Уравнение имеет два корня при $D>0D>0$ и k-4≠0; k≠4

$$\begin{gathered} 256+96\left(k-4\right)>0 \\ 256+96k-384>0 \\ 96k-128>0 \\ 96k>128 \\ k>\frac{128}{96} \\ k>\frac{4}{3} \\ k>1\frac{1}{3} \text{и }k\ne 4 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(1\frac{1}{3}; 4\right)\cup \left(4; +\mathrm{\infty }\right)(1\backslash frac\{1\}\{3\};4)\; \backslash cup\; (4;+\backslash infty)$

Для того чтобы уравнение $(k - 4)x^2 + 16x - 24 = 0$ имело два корня, необходимо выполнение двух условий:

1. Уравнение должно быть квадратным. Это означает, что коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю.

2. Дискриминант этого квадратного уравнения должен быть строго больше нуля ($D > 0$), что обеспечивает наличие двух различных действительных корней.

Рассмотрим первое условие. Коэффициент при $x^2$ равен $(k - 4)$. Приравняем его к нулю, чтобы найти значение $k$, при котором уравнение перестает быть квадратным.

$k - 4 \neq 0$

$k \neq 4$

Если $k = 4$, исходное уравнение принимает вид:

$(4 - 4)x^2 + 16x - 24 = 0$

$0 \cdot x^2 + 16x - 24 = 0$

$16x - 24 = 0$

$16x = 24$

$x = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$

При $k=4$ уравнение становится линейным и имеет только один корень. Это не удовлетворяет условию задачи, поэтому значение $k=4$ необходимо исключить.

Теперь рассмотрим второе условие. Найдем дискриминант уравнения. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты:

$a = k - 4$

$b = 16$

$c = -24$

Вычислим дискриминант:

$D = 16^2 - 4 \cdot (k - 4) \cdot (-24) = 256 + 96(k - 4)$

$D = 256 + 96k - 384$

$D = 96k - 128$

Чтобы уравнение имело два корня, дискриминант должен быть строго больше нуля:

$96k - 128 > 0$

$96k > 128$

$k > \frac{128}{96}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 32:

$k > \frac{4 \cdot 32}{3 \cdot 32}$

$k > \frac{4}{3}$

Теперь объединим оба полученных условия: $k > \frac{4}{3}$ и $k \neq 4$.

Поскольку $4 > \frac{4}{3}$, значение $k=4$ находится внутри промежутка $(\frac{4}{3}; +\infty)$. Следовательно, его нужно исключить из этого промежутка. Таким образом, множество значений $k$, удовлетворяющих условию, состоит из двух интервалов.

Ответ: $k \in (\frac{4}{3}; 4) \cup (4; +\infty)$.

964. Длина стороны прямоугольника 6 см. Какой должна быть длина другой стороны, чтобы периметр прямоугольника был меньше периметра квадрата со стороной 4 см?

Пусть x см - длина другой стороны прямоугольника, тогда периметр прямоугольника равен (6+x)*2см. Зная, что периметр прямоугольника должен быть меньше периметра квадрата со стороной 4см, составим и решим неравенство

(6+x)*2<4*4

(6+x)*2<16

6+x<8

x<2

Ответ: меньше 2см

Для решения задачи сначала найдем периметр квадрата, а затем составим и решим неравенство для определения длины второй стороны прямоугольника.

1. Найдем периметр квадрата.Периметр квадрата ($P_{кв}$) со стороной $a$ вычисляется по формуле $P_{кв} = 4a$.По условию, сторона квадрата равна 4 см, следовательно:

$P_{кв} = 4 \times 4 = 16$ см.

2. Составим неравенство для нахождения длины второй стороны прямоугольника.Периметр прямоугольника ($P_{пр}$) с длинами сторон $l$ и $w$ вычисляется по формуле $P_{пр} = 2(l + w)$.По условию, одна сторона прямоугольника равна 6 см. Обозначим длину другой, неизвестной, стороны как $x$ см. Тогда периметр прямоугольника будет равен:

$P_{пр} = 2(6 + x)$ см.

Согласно условию, периметр прямоугольника должен быть меньше периметра квадрата:

$P_{пр} < P_{кв}$

Подставим в это неравенство выражения для периметров:

$2(6 + x) < 16$

3. Решим полученное неравенство.

$2(6 + x) < 16$

Разделим обе части неравенства на 2:

$6 + x < 8$

Вычтем 6 из обеих частей неравенства:

$x < 8 - 6$

$x < 2$

Так как длина стороны прямоугольника должна быть положительной величиной, то $x > 0$.Следовательно, длина второй стороны прямоугольника должна быть меньше 2 см, но больше 0 см.

Ответ: длина другой стороны прямоугольника должна быть меньше 2 см.

965. Длина основания прямоугольного параллелепипеда 12 дм, ширина 5 дм. Какой должна быть высота параллелепипеда, чтобы его объём был меньше объёма куба с ребром 9 дм?

Пусть x дм - высота параллелепипеда, тогда объём параллелепипеда равен (12*5*x)дм³. Зная, что объём параллелепипеда должен быть меньше объёма куба с ребром 9дм, составим и решим неравенство

$$\begin{gathered} 12·5·x<9^3 \\ 60x<729 \\ x<\frac{729}{60} \\ x<12,15 \end{gathered}$$

Ответ: меньше 12,15 дм

Для решения этой задачи необходимо сначала вычислить объем куба, затем выразить объем прямоугольного параллелепипеда через его высоту и, наконец, составить и решить неравенство, исходя из условия задачи.

1. Вычисление объема куба

Объем куба ($V_{к}$) с ребром $c$ находится по формуле $V_{к} = c^3$. По условию задачи, ребро куба $c = 9$ дм.

Вычислим объем:

$V_{к} = 9^3 = 9 \times 9 \times 9 = 729$ дм?.

2. Выражение объема прямоугольного параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда ($V_{п}$) вычисляется как произведение его длины ($a$), ширины ($b$) и высоты ($h$): $V_{п} = a \cdot b \cdot h$.

По условию, длина основания $a = 12$ дм, а ширина $b = 5$ дм. Высота $h$ является искомой величиной. Подставим известные значения в формулу:

$V_{п} = 12 \cdot 5 \cdot h = 60h$.

3. Решение неравенства

Согласно условию, объем параллелепипеда должен быть меньше объема куба, то есть $V_{п} < V_{к}$.

Составим и решим соответствующее неравенство:

$60h < 729$

Чтобы найти $h$, разделим обе части неравенства на 60:

$h < \frac{729}{60}$

$h < 12,15$

Поскольку высота, как геометрическая величина, должна быть положительным числом, то $h > 0$. Следовательно, высота параллелепипеда должна быть в интервале от 0 до 12,15 дм.

Ответ: высота параллелепипеда должна быть меньше 12,15 дм.