Номер 962, страница 214 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Решение неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 962, страница 214.

962. Найдите множество значений а, при которых уравнение не имеет корней.

(a + 5)x² + 4x – 20 = 0

(a+5)x²+4x-20=0

$D=4^2-4·\left(-20\right)\left(a+5\right)=16+80\left(a+5\right)D=4²-4\; \backslash cdot\; (-20)(a+5)=16+80(a+5)$

Если уравнение не имеет корней, значит D<0

16+80(a+5)<0

16+80a+400<0

416+80a<0

80a<-416

a<-5,2

Ответ: (-∞, -5,2)

Данное уравнение $(a + 5)x^2 + 4x - 20 = 0$ является уравнением с параметром $a$. Чтобы найти значения $a$, при которых оно не имеет корней, необходимо рассмотреть два случая в зависимости от коэффициента при $x^2$.

Случай 1: Уравнение является квадратным

Это условие выполняется, если коэффициент при $x^2$ отличен от нуля:

$a + 5 \neq 0$, то есть $a \neq -5$.

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ меньше нуля ($D < 0$).

Коэффициенты уравнения: $A = a + 5$, $B = 4$, $C = -20$.

Найдем дискриминант:

$D = B^2 - 4AC = 4^2 - 4 \cdot (a + 5) \cdot (-20) = 16 + 80(a + 5)$

$D = 16 + 80a + 400 = 80a + 416$

Решим неравенство $D < 0$:

$80a + 416 < 0$

$80a < -416$

$a < -\frac{416}{80}$

Сократим дробь. Заметим, что $416 = 16 \cdot 26$ и $80 = 16 \cdot 5$.

$a < -\frac{16 \cdot 26}{16 \cdot 5}$

$a < -\frac{26}{5}$

$a < -5.2$

Полученное множество значений $a \in (-\infty; -5.2)$ полностью удовлетворяет условию $a \neq -5$, так как число $-5$ не входит в этот интервал.

Случай 2: Уравнение является линейным

Это условие выполняется, если коэффициент при $x^2$ равен нулю:

$a + 5 = 0$, то есть $a = -5$.

Подставим это значение $a$ в исходное уравнение:

$(-5 + 5)x^2 + 4x - 20 = 0$

$0 \cdot x^2 + 4x - 20 = 0$

$4x - 20 = 0$

Это линейное уравнение имеет единственный корень:

$4x = 20$

$x = 5$

Поскольку при $a = -5$ уравнение имеет корень, это значение $a$ не удовлетворяет условию задачи.

Объединяя результаты анализа двух случаев, мы заключаем, что исходное уравнение не имеет корней только при значениях $a$, найденных в первом случае.

Ответ: $a \in (-\infty; -5.2)$