Номер 959, страница 214 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Решение неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 959, страница 214.

959. Найдите область определения функции:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}y=\frac{\sqrt{7-14x}}{x+8} \\ \left\{\begin{array}{l}7-14x\ge 0\\ x+8\ne 0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-14x\ge -7\\ x\ne -8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\le \frac{-7}{-14}\\ x\ne -8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\le \mathrm{0,5}\\ x\ne -8\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; -8\right)\cup (-8; 0,5]$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=\frac{6}{\sqrt{4-x}-1} \\ \sqrt{4-x}-1\ne 0 \\ \sqrt{4-x}\ne 1 \\ \left\{\begin{array}{c}4-x\ne 1\\ 4-x\ge 0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x\ne 3\\ x\le 4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; 3\right)\cup (3; 4]$

а)

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Для данной функции $y = \frac{\sqrt{7-14x}}{x+8}$ должны выполняться два условия одновременно:

1. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным, так как извлечение квадратного корня из отрицательного числа не определено в множестве действительных чисел.
$7 - 14x \ge 0$
Перенесем 7 в правую часть:
$-14x \ge -7$
Разделим обе части неравенства на -14, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$x \le \frac{-7}{-14}$
$x \le \frac{1}{2}$

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, так как деление на ноль невозможно.
$x + 8 \ne 0$
$x \ne -8$

Для нахождения области определения функции необходимо найти пересечение полученных условий: $x \le \frac{1}{2}$ и $x \ne -8$.
Это означает, что подходят все числа, которые меньше или равны $\frac{1}{2}$, за исключением числа -8.
В виде промежутков это записывается как объединение $(-\infty; -8)$ и $(-8; \frac{1}{2}]$.

Ответ: $(-\infty; -8) \cup (-8; \frac{1}{2}]$

б)

Для нахождения области определения функции $y = \frac{6}{\sqrt{4-x}-1}$ также должны выполняться два условия:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
$4 - x \ge 0$
$-x \ge -4$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$x \le 4$

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю.
$\sqrt{4-x} - 1 \ne 0$
$\sqrt{4-x} \ne 1$
Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:
$(\sqrt{4-x})^2 \ne 1^2$
$4 - x \ne 1$
$-x \ne 1 - 4$
$-x \ne -3$
$x \ne 3$

Объединим оба условия: $x \le 4$ и $x \ne 3$.
Это означает, что подходят все числа, которые меньше или равны 4, кроме числа 3.
В виде промежутков это записывается как объединение $(-\infty; 3)$ и $(3; 4]$.

Ответ: $(-\infty; 3) \cup (3; 4]$