Номер 953, страница 213 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Решение неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 953, страница 213.

953. Решите неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} \frac{3+x}{4}+\frac{2-x}{3}<0 /·12 \\ 3\left(3+x\right)+4\left(2-x\right)<0 \\ 9+3x+8-4x<0 \\ 17-x<0 \\ x>17 \end{gathered}$$

Ответ: (17; +∞)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} \frac{4-y}{5}-5y\ge 0 /·5 \\ 4-y-25y\ge 0 \\ 4-26y\ge 0 \\ 26y\le 4 \\ y\le \frac{4}{26} \\ y\le \frac{2}{13} \end{gathered}$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; \frac{2}{13}]$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}y-\frac{2y-1}{4}\ge 1 /·4 \\ 4y-\left(2y-1\right)\ge 4 \\ 4y-2y+1\ge 4 \\ 2y\ge 3 \\ y\ge 1,5 \end{gathered}$$

Ответ: [1,5;+∞)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} x-\frac{x-3}{5}+\frac{2x-1}{10}\le 4 /·10 \\ 10x-2\left(x-3\right)+\left(2x-1\right)\le 40 \\ 10x-2x+6+2x-1\le 40 \\ 10x+5\le 40 \\ 10x\le 35 \\ x\le \mathrm{3,5} \end{gathered}$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; 3,5]$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{y-1}{2}-1+\frac{2y-1}{6}>y /·6 \\ 3\left(y-1\right)-6+2y-1>6y \\ 3y-3-6+2y-1>6y \\ 5y-10>6y \\ 5y-6y>10 \\ -y>10 \\ y<-10 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; -10\right)(-\backslash infty;\; -10)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}p-\frac{p-1}{2}-\frac{p+3}{4}>2 /·4 \\ 4p-2\left(p-1\right)-\left(p+3\right)>8 \\ 4p-2p+2-p-3>8 \\ p-1>8 \\ p>9 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(9; +\mathrm{\infty }\right)(9;+\backslash infty)$

а) Исходное неравенство: $\frac{3+x}{4} + \frac{2-x}{3} < 0$.
Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 3, то есть на 12. Так как 12 – положительное число, знак неравенства не меняется.
$12 \cdot \left(\frac{3+x}{4} + \frac{2-x}{3}\right) < 12 \cdot 0$
$3(3+x) + 4(2-x) < 0$
Раскроем скобки:
$9 + 3x + 8 - 4x < 0$
Приведем подобные слагаемые:
$17 - x < 0$
Перенесем $-x$ в правую часть:
$17 < x$
Это означает, что $x$ больше 17.
Ответ: $x \in (17; +\infty)$.

б) Исходное неравенство: $\frac{4-y}{5} - 5y \ge 0$.
Умножим обе части неравенства на 5, чтобы избавиться от знаменателя. Знак неравенства не меняется.
$5 \cdot \left(\frac{4-y}{5} - 5y\right) \ge 5 \cdot 0$
$4 - y - 25y \ge 0$
Приведем подобные слагаемые:
$4 - 26y \ge 0$
Перенесем $-26y$ в правую часть:
$4 \ge 26y$
Разделим обе части на 26 (положительное число, знак не меняется) и поменяем части местами:
$y \le \frac{4}{26}$
Сократим дробь:
$y \le \frac{2}{13}$
Ответ: $y \in (-\infty; \frac{2}{13}]$.

в) Исходное неравенство: $y - \frac{2y-1}{4} \ge 1$.
Умножим обе части неравенства на 4. Знак неравенства не меняется.
$4 \cdot \left(y - \frac{2y-1}{4}\right) \ge 4 \cdot 1$
$4y - (2y-1) \ge 4$
Раскроем скобки (обращая внимание на знак минус перед скобкой):
$4y - 2y + 1 \ge 4$
Приведем подобные слагаемые:
$2y + 1 \ge 4$
Перенесем 1 в правую часть:
$2y \ge 4 - 1$
$2y \ge 3$
Разделим на 2:
$y \ge \frac{3}{2}$
Ответ: $y \in [\frac{3}{2}; +\infty)$.

г) Исходное неравенство: $x - \frac{x-3}{5} + \frac{2x-1}{10} \le 4$.
Умножим обе части на наименьший общий знаменатель 10. Знак неравенства не меняется.
$10 \cdot \left(x - \frac{x-3}{5} + \frac{2x-1}{10}\right) \le 10 \cdot 4$
$10x - 2(x-3) + (2x-1) \le 40$
Раскроем скобки:
$10x - 2x + 6 + 2x - 1 \le 40$
Приведем подобные слагаемые:
$10x + 5 \le 40$
Перенесем 5 в правую часть:
$10x \le 40 - 5$
$10x \le 35$
Разделим на 10:
$x \le \frac{35}{10}$
$x \le 3.5$ или $x \le \frac{7}{2}$.
Ответ: $x \in (-\infty; 3.5]$.

д) Исходное неравенство: $\frac{y-1}{2} - 1 + \frac{2y-1}{6} > y$.
Умножим обе части на наименьший общий знаменатель 6. Знак неравенства не меняется.
$6 \cdot \left(\frac{y-1}{2} - 1 + \frac{2y-1}{6}\right) > 6y$
$3(y-1) - 6 + (2y-1) > 6y$
Раскроем скобки:
$3y - 3 - 6 + 2y - 1 > 6y$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$5y - 10 > 6y$
Перенесем $6y$ влево, а $-10$ вправо:
$5y - 6y > 10$
$-y > 10$
Умножим обе части на -1, при этом знак неравенства меняется на противоположный:
$y < -10$
Ответ: $y \in (-\infty; -10)$.

е) Исходное неравенство: $p - \frac{p-1}{2} - \frac{p+3}{4} > 2$.
Умножим обе части на наименьший общий знаменатель 4. Знак неравенства не меняется.
$4 \cdot \left(p - \frac{p-1}{2} - \frac{p+3}{4}\right) > 4 \cdot 2$
$4p - 2(p-1) - (p+3) > 8$
Раскроем скобки (обращая внимание на знаки минус):
$4p - 2p + 2 - p - 3 > 8$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(4p - 2p - p) + (2 - 3) > 8$
$p - 1 > 8$
Перенесем -1 в правую часть:
$p > 8 + 1$
$p > 9$
Ответ: $p \in (9; +\infty)$.