Номер 951, страница 213 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Решение неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 951, страница 213.

951. Решите неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{x}{2}+\frac{x}{3}<5 \mathrm{/}·6 \\ 3x+2x<30 \\ 5x<30 \\ x<6 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; 6\right)(-\backslash infty;\; 6)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{3y}{2}-\frac{y}{3}\ge 2 \mathrm{/}·6 \\ 9y-2y\ge 12 \\ 7y\ge 12 \\ y\ge \frac{12}{7} \\ y\ge 1\frac{5}{7} \end{gathered}$$

Ответ: $[1\frac{5}{7}; +\mathrm{\infty }[1\; \backslash frac\{5\}\{7\};+\backslash infty)$)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{x}{4}-\frac{x}{2}>-3 \mathrm{/}·4 \\ x-2x>-12 \\ -x>-12 \\ x<12 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; 12\right)(-\backslash infty;\; 12)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}y+\frac{y}{2}>3 \mathrm{/}·2 \\ 2y+y>6 \\ 3y>6 \\ y>2 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(2; +\mathrm{\infty }\right)(2;+\backslash infty)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{2x}{5}-x\le 1 \mathrm{/}·5 \\ 2x-5x\le 5 \\ -3x\le 5 \\ x\ge -\frac{5}{3} \\ x\ge -1\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Ответ: $[-1\frac{2}{3}; +\mathrm{\infty }[-1\; \backslash frac\{2\}\{3\};+\backslash infty)$)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}\frac{3x}{4}-2x<0 \mathrm{/}·4 \\ 3x-8x<0 \\ -5x<0 \\ x>0 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(0; +\mathrm{\infty }\right)(0;+\backslash infty)$

а) $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} < 5$

Чтобы решить неравенство, приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 - это 6. Умножим обе части неравенства на 6:

$6 \cdot (\frac{x}{2} + \frac{x}{3}) < 6 \cdot 5$

$\frac{6x}{2} + \frac{6x}{3} < 30$

$3x + 2x < 30$

Сложим подобные члены:

$5x < 30$

Разделим обе части на 5:

$x < 6$

Ответ: $x \in (-\infty; 6)$

---

б) $\frac{3y}{2} - \frac{y}{3} \ge 2$

Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 равен 6. Умножим обе части неравенства на 6:

$6 \cdot (\frac{3y}{2} - \frac{y}{3}) \ge 6 \cdot 2$

$3 \cdot 3y - 2 \cdot y \ge 12$

$9y - 2y \ge 12$

Приведем подобные члены:

$7y \ge 12$

Разделим обе части на 7:

$y \ge \frac{12}{7}$

Ответ: $y \in [\frac{12}{7}; +\infty)$

---

в) $\frac{x}{4} - \frac{x}{2} > -3$

Наименьший общий знаменатель для 4 и 2 равен 4. Умножим обе части неравенства на 4:

$4 \cdot (\frac{x}{4} - \frac{x}{2}) > 4 \cdot (-3)$

$x - 2x > -12$

$-x > -12$

Умножим обе части на -1, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 12$

Ответ: $x \in (-\infty; 12)$

---

г) $y + \frac{y}{2} > 3$

Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от дроби:

$2 \cdot (y + \frac{y}{2}) > 2 \cdot 3$

$2y + y > 6$

$3y > 6$

Разделим обе части на 3:

$y > 2$

Ответ: $y \in (2; +\infty)$

---

д) $\frac{2x}{5} - x \le 1$

Умножим обе части неравенства на 5:

$5 \cdot (\frac{2x}{5} - x) \le 5 \cdot 1$

$2x - 5x \le 5$

$-3x \le 5$

Разделим обе части на -3 и поменяем знак неравенства на противоположный:

$x \ge -\frac{5}{3}$

Ответ: $x \in [-\frac{5}{3}; +\infty)$

---

е) $\frac{3x}{4} - 2x < 0$

Умножим обе части неравенства на 4:

$4 \cdot (\frac{3x}{4} - 2x) < 4 \cdot 0$

$3x - 8x < 0$

$-5x < 0$

Разделим обе части на -5 и поменяем знак неравенства на противоположный:

$x > 0$

Ответ: $x \in (0; +\infty)$