Номер 945, страница 212 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Решение неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 945, страница 212.

945. Решите неравенство и покажите на координатной прямой множество его решений:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}a\left(a-4\right)-a^2>12-6a \\ {a}^2-4a-a^2>12-6a \\ -4a+6a>12 \\ 2a>12 \\ a>6 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(6; +\mathrm{\infty }\right)(6;+\backslash infty)$

 

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\left(2x-1\right)2x-5x<4x^2-x \\ 4x^2-2x-5x-4x^2+x<0 \\ -6x<0 \\ x>0 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(0; +\mathrm{\infty }\right)(0;+\backslash infty)$

 

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}5y^2-5y\left(y+4\right)\ge 100 \\ 5y^2-5y^2-20y\ge 100 \\ -20y\ge 100 \\ y\le -5 \end{gathered}$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; -5]$

 

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}6a\left(a-1\right)-2a\left(3a-2\right)<6 \\ 6a^2-6a-6a^2+4a<6 \\ -2a<6 \\ a>-3 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-3; +\mathrm{\infty }\right)(-3;+\backslash infty)$

а) Решим неравенство $a(a - 4) - a^2 > 12 - 6a$.

Сначала раскроем скобки в левой части:

$a^2 - 4a - a^2 > 12 - 6a$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-4a > 12 - 6a$

Теперь перенесем все слагаемые, содержащие переменную $a$, в левую часть, а свободные члены — в правую. При переносе слагаемых из одной части в другую их знаки меняются на противоположные.

$6a - 4a > 12$

Выполним вычитание:

$2a > 12$

Разделим обе части неравенства на положительное число 2. Знак неравенства при этом не меняется.

$a > 6$

Множество решений этого неравенства — все числа, которые больше 6. На координатной прямой это открытый луч, начинающийся в точке 6 и идущий вправо.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: $a \in (6, +\infty)$

---

б) Решим неравенство $(2x - 1)2x - 5x < 4x^2 - x$.

Раскроем скобки в левой части:

$4x^2 - 2x - 5x < 4x^2 - x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$4x^2 - 7x < 4x^2 - x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$4x^2 - 7x - 4x^2 + x < 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-6x < 0$

Разделим обе части неравенства на -6. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный (с "<" на ">").

$x > 0$

Множество решений — все числа, строго большие нуля. На координатной прямой это открытый луч, идущий вправо от точки 0.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: $x \in (0, +\infty)$

---

в) Решим неравенство $5y^2 - 5y(y + 4) \geq 100$.

Раскроем скобки в левой части:

$5y^2 - (5y^2 + 20y) \geq 100$

$5y^2 - 5y^2 - 20y \geq 100$

Приведем подобные слагаемые:

$-20y \geq 100$

Разделим обе части на -20. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с "$\geq$" на "$\leq$").

$y \leq -5$

Множество решений — все числа, которые меньше или равны -5. На координатной прямой это замкнутый луч, идущий влево от точки -5 (включая саму точку).

Изображение на координатной прямой:

Ответ: $y \in (-\infty, -5]$

---

г) Решим неравенство $6a(a - 1) - 2a(3a - 2) < 6$.

Раскроем скобки в левой части:

$(6a^2 - 6a) - (6a^2 - 4a) < 6$

$6a^2 - 6a - 6a^2 + 4a < 6$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-2a < 6$

Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный (с "<" на ">"):

$a > -3$

Множество решений — все числа, строго большие -3. На координатной прямой это открытый луч, идущий вправо от точки -3.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: $a \in (-3, +\infty)$