Номер 955, страница 213 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Решение неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 955, страница 213.

955. а) При каких значениях а сумма дробей 2a - 14 и a - 13 положительна?

б) При каких значениях b разность дробей 3b - 12 и 1 + 5b4 отрицательна?

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{2a-1}{4}+\frac{a-1}{3}>0\mathrm{/}·12 \\ 3\left(2a-1\right)+4\left(a-1\right)>0 \\ 6a-3+4a-4>0 \\ 10a-7>0 \\ 10a>7 \\ a>\mathrm{0,7} \end{gathered}$$

Ответ: при $a>\mathrm{0,7}a\; >\; 0,7$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{3b-1}{2}-\frac{1+5b}{4}<0\mathrm{/}·4 \\ 2\left(3b-1\right)-\left(1+5b\right)<0 \\ 6b-2-1-5b<0 \\ b-3<0 \\ b<3 \end{gathered}$$

Ответ: при

а) Чтобы найти значения a, при которых сумма дробей положительна, необходимо составить и решить неравенство. Сумма дробей $\frac{2a-1}{4}$ и $\frac{a-1}{3}$ должна быть больше нуля:

$\frac{2a-1}{4} + \frac{a-1}{3} > 0$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 равен 12. Домножим первую дробь на 3, а вторую на 4:

$\frac{3(2a-1)}{12} + \frac{4(a-1)}{12} > 0$

Теперь сложим числители:

$\frac{3(2a-1) + 4(a-1)}{12} > 0$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{6a - 3 + 4a - 4}{12} > 0$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{10a - 7}{12} > 0$

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Так как знаменатель 12 — положительное число, числитель также должен быть положительным:

$10a - 7 > 0$

Перенесем -7 в правую часть неравенства, изменив знак:

$10a > 7$

Разделим обе части на 10:

$a > \frac{7}{10}$

Или в десятичном виде:

$a > 0.7$

Ответ: $a > 0.7$

б) Чтобы найти значения b, при которых разность дробей отрицательна, составим и решим соответствующее неравенство. Разность дробей $\frac{3b-1}{2}$ и $\frac{1+5b}{4}$ должна быть меньше нуля:

$\frac{3b-1}{2} - \frac{1+5b}{4} < 0$

Приведем дроби к общему знаменателю 4. Для этого домножим первую дробь на 2:

$\frac{2(3b-1)}{4} - \frac{1+5b}{4} < 0$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{2(3b-1) - (1+5b)}{4} < 0$

Раскроем скобки в числителе. Обратим внимание на знак минус перед второй скобкой:

$\frac{6b - 2 - 1 - 5b}{4} < 0$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{b - 3}{4} < 0$

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Так как знаменатель 4 — положительное число, числитель должен быть отрицательным:

$b - 3 < 0$

Перенесем -3 в правую часть неравенства:

$b < 3$

Ответ: $b < 3$